高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习
一、知识点总结
abc1．正弦定理:???2R或变形：a:b:c?sinA:sinB:sinC.
sinAsinBsinC 推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜?，则α≤β?sin??sin?，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ? A ＞ B ? a ＞ b cosA?cosB?A?B（y?cosx在(0,?)上单调递减）
?b2?c2?a2?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA?
?2a2?c2?b2?222．余弦定理： ?b?a?c?2accosB 或 ?cosB?.
2ac??c2?b2?a2?2bacosC??b2?a2?c2
?cosC?
2ab?
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, 已知条件 一边和两角 （如a、B、C） 定理应用 正弦定理 一般解法 由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解。 两边和夹角 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。 三边 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。 解三角形[基础训练A组]
一、选择题
1．在△ABC中，若C?90,a?6,B?30，则c?b等于（ ） A．1 B．?1 C．23 D．?23
2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A．sinA B．cosA C．tanA D．
001
tanA
1
3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA?sinB,则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
04．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（ ）
A．2 B．
3 C．3 D．23 25．在△ABC中，若b?2asinB，则A等于（ ）
A．30或60 B．45或60 C．120或60 D．30或150 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．90 B．120 C．135 D．150
000000000000二、填空题
1．在Rt△ABC中，C?90，则sinAsinB的最大值是_______________。 2．在△ABC中，若a?b?bc?c,则A?_________。 3．在△ABC中，若b?2,B?30,C?135,则a?_________。
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，则C?_____________。 5．在△ABC中，AB?0022206?2,C?300，则AC?BC的最大值是________。
三、解答题
1． 在△ABC中，若acosA?bcosB?ccosC,则△ABC的形状是什么？
abcosBcosA??c(?) baba3．在锐角△ABC中，求证：sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC。
2．在△ABC中，求证：
4．在△ABC中，设a?c?2b,A?C??3,求sinB的值。
解三角形[综合训练B组] 一、选择题
1．在△ABC中，A:B:C?1:2:3，则a:b:c等于（ ） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1
2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinB?sinA的值（ ）A大于零B小于零C等于零D不能确定 3．在△ABC中，若A?2B，则a等于（ ）A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB 4．在△ABC中，若lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
5．在△ABC中，若(a?b?c)(b?c?a)?3bc,则A? ( ) A．90B．60C．135 D．150
00002
6．在△ABC中，若a?7,b?8,cosC?7．在△ABC中，若tan131111，则最大角的余弦是（ ）A．? B．? C．? D．? 145867A?Ba?b，则△ABC的形状是（ ） ?2a?bA．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1．若在△ABC中，?A?600,b?1,S?ABC?3,则
a?b?c=_______。
sinA?sinB?sinC2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或<）。 3．在△ABC中，若sinA?2cosBcosC,则tanB?tanC?_________。 4．在△ABC中，若a?9,b?10,c?12,则△ABC的形状是_________。
5．在△ABC中，若a?3,b?2,c?6?2则A?_________。 26．在锐角△ABC中，若a?2,b?3，则边长c的取值范围是_________。 三、解答题
1． 在△ABC中，A?1200,c?b,a?21,SABC?3，求b,c。
2． 在锐角△ABC中，求证：tanA?tanB?tanC?1。
ABCcoscos。 222ab04． 在△ABC中，若A?B?120，则求证：??1。
b?ca?cA3b2C5．在△ABC中，若acos，则求证：a?c?2b ?ccos2?2223． 在△ABC中，求证：sinA?sinB?sinC?4cos解三角形[提高训练C组] 一、选择题
1．A为△ABC的内角，则sinA?cosA的取值范围是（ ） A．(2,2) B．(?2,2) C．(?1,2] D．[?2,2]
a?b等于（ ） cA?BA?BA?BA?BA．2cos B．2cos C．2sin D．2sin
22222．在△ABC中，若C?90,则三边的比
03．在△ABC中，若a?7,b?3,c?8，则其面积等于（ ） A．12 B．
21 C．28 D．63 204．在△ABC中，?C?90，0?A?45，则下列各式中正确的是（ ）
003
A．sinA?cosA B．sinB?cosA C．sinA?cosB D．sinB?cosB
5．在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)，则?A?（ ） A．90 B．60 C．120 D．150
0000tanAa2?2，则△ABC的形状是（ ） 6．在△ABC中，若
tanBbA．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC中，若sinA?sinB,则A一定大于B，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC中，若cosA?cosB?cosC?1,则△ABC的形状是______________。 3．在△ABC中，∠C是钝角，设x?sinC,y?sinA?sinB,z?cosA?cosB, 则x,y,z的大小关系是___________________________。 4．在△ABC中，若a?c?2b，则cosA?cosC?cosAcosC?2221sinAsinC?______。 35．在△ABC中，若2lgtanB?lgtanA?lgtanC,则B的取值范围是_______________。 6．在△ABC中，若b?ac，则cos(A?C)?cosB?cos2B的值是_________。
2三、解答题
1．在△ABC中，若(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)，请判断三角形的形状。
222． 如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sinA?sinC)?(2a?b)sinB,
2222求△ABC的面积的最大值。
3． 已知△ABC的三边a?b?c且a?c?2b,A?C??2，求a:b:c
anA?tan4．在△ABC中，若(a?b?c)(a?b?c)?3ac，且t的大小与边a,b,c的长
C3?3?，AB边上的高为43，求角A,B,C[基础训练A组]
一、选择题
b001.C ?tan30,b?atan30?23,c?2b?44,c?b?23 a2.A 0?A??,sinA?0 3.C cosA?sin(?2?A)?sinB,?2?A,B都是锐角，则
?2?A?B,A?B??2,C??2
4
4.D 作出图形
5.D b?2asinB,sinB?2sinAsinB,sinA?1,A?300或1500 252?82?721?,??600,1800?600?1200为所求 6.B 设中间角为?，则cos??2?5?82二、填空题
1111. sinAsinB?sinAcosA?sin2A? 222b2?c2?a21A???A,?2.120 cos2bc20102 03.6?2 A?150,abbsinA6?2?,a??4sinA?4sin150?4? sinAsinBsinB404. 120 a∶b∶c?sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，
a2?b2?c21??,C?1200 令a?7k,b?8k,c?13k cosC?2ab2ACBCABAC?BCAB ??,?,AC?BCsinBsinAsinCsinB?sinAsinC三、解答题
5. 4
1. 解：acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?sinCcosC
cosA?0或cosB?0，得A?所以△ABC是直角三角形。
?2或B??2
a2?c2?b2b2?c2?a22. 证明：将cosB?，cosA?代入右边
2ac2bca2?c2?b2b2?c2?a22a2?2b2?)? 得右边?c(
2abc2abc2aba2?b2ab????左边，
abba ∴
abcosBcosA??c(?) baba3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴A?B? ∴sinA?sin(?2,即
?2?A??2?B?0
?B)，即sinA?cosB；同理sinB?cosC；sinC?cosA
2∴sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
A?CA?CBBcos?4sincos， 4.解：∵a?c?2b,∴sinA?sinC?2sinB，即2sin2222?5
高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
