第4章 平板弯曲问题的有限元方法
第4章 平板弯曲问题的有限元方法 4.1 平板弯曲问题的基本方程
平板简化的基本特征：
一个方向上的尺度远小于另外两个方向。
平板的基本力学假定： （1） 挠度比厚度小的多（小挠度弯曲理论） （2） 忽略厚度方向的正应力
（3）中面的各点没有面内位移(其他点有位移，如何计算？)
（4）板中面的法线变形后仍为法线（直法线假定）
由于直法线假定
??????xx????????yy??z?????xy?????????????z? ??2w?2??x?y??2w?x2?2w?y2当某个截面的曲率给定时， 该截面上各个点的应变也给定
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第4章 平板弯曲问题的有限元方法
广义应变
??2w???2???x???2w?????2??Lw ??y???2w???2???x?y????Mx???M??My??M??xy?广义应力
广义本构关系M??
M?D?
??13Et??D?212(1??)??0?0???0??110??D0???1?????002????0?10?。 1????02?其中D为薄板的弯曲刚度。 平衡方程：
?Mx?2??q(x,y) 22?x?y?x?y2?2Mxy?2MyM?D??DLw
Et3??4w?4w?4w??222?4??q(x,y) 2?412(1??)??x?x?y?y?
能量原理：
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?w?1T??p????D??qw?dxdy??Vnwds??Mnds
2?n???SVSM平板弯曲有限元的主要问题
构造w?Nwe，满足连续性的条件
能量表达式中w的导数为2次（上式中的?表达式） C1有限元问题
处理平板弯曲问题的3种方法
（1） 直接以法向位移w构造场函数
（2） 杂交单元：场函数不是处处连续，而是在单元边界上的若干点连续
（3） 考虑横向剪切的影响，将位移和转角独立求解。
4.2 基于薄板理论的非协调单元 4.2.1 矩形单元
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?wi?????aj???xi???节点的自由度??yi????????wi??????(?w)????xi? ????w???()?i???y??4个节点，12个自由度
w的多项式表达式中可以有12项
w??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8x2y??9xy2??10y3??11x3y??12xy3
或采用广义坐标的形式
w????[?]
其中 ??????1xyx2xyy2Tx3x2yxy2y3x3yxy3????????1?2.....?12?
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注 意上述
w表达式中4次项的处理：
x 和y的对称性
44?x??y采用11的方案行吗？（不行） 12注意当y为常数时，w是x的4次多项式，需
要5个节点参数，连续性不能满足。
采用类似的方法可以得到w的形函数为：w?[N][we]N?[N1,N2,N3,N4]
?22)?TN1?(?0?1)(?0?1)(2??0??0?????i?8?b?i(?0?1)(?20?1)(?0?1)????a?i(?0?1)2(?0?1)(?0?1)? ???x?x0a??y?y0b?
0???i?0???i关于w的讨论：
（1） 刚体位移的表示
?1??2x??3y
（2） 常应变：
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上海交大计算结构力学课件ppt平板弯曲问题的有限元方法01
