0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} (2) 因P{X?2}gP{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.
9 设随机变量X和Y的联合分布律为 X Y 1 2 3 1 2 b 1 8a 1 241 41 8⑴ 求a,b应满足的条件； ⑵ 若X与Y相互独立 ，求 a,b的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质与b.
【解】⑴ 因为
??pijij?1确定a,b应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a
??pij?1，所以
ij111111?b?a????1, 因此 a?b?.
2484248⑵ 由于 X与Y相互独立，即对所有xi,yj有 PX?xi,Y?yj?P?X?xi?Y?yj, 于是 a?P?X?2,Y?1??P?X?2??Y?1???????11?1??1??a???a?, 解得 a?或a?.
122?4??6???3??8??同理 b?P?X?1,Y?2??P?X?1??Y?2????B???b?, 解得 b?再由a?b??1?813或b?. 881113.知 a?,b? 【解毕】 24128【技巧】 由于X与Y的独立性，故对所有的xi,yj应有PX?xi,Y?yj?P?X?xi?Y?yj,
????因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如
P?X?3,Y?1??1111?1?,而P?X?3??Y?1?????a?,可求得a?;又P?X?3,Y?2??,而
6?612824?13求得b?.这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 8810、 变量X与Y相互独立 ，下表列出了二维随机变量?X,Y?的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处： X Y y1 y2 y3 P?X?xi??pig 1 x1 x2 1 8 P?Y?yj??pgj 1 81 6【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从p11?111?,求得p11?,再利用独立性862411,等等.
64【解】 利用pig??pij;pgj??pij以及
知p11?p1g?.从而知p1g?ji?p??pigijgj?1 与独立性 pij?pigpgj. 求解空格内的
1111113??,p11?p1gpg1?p1g?,即p1g?,又由p1g?p2g?1,可得p2g?1??. 6824644413111反复运用上列公式，可求得 p13?,p22?,p23?,pg2?,pg3?.
128423数值，故p11?将算得的数值填入表中的空格内，即得 X Y x1 x2 y1 y2 y3 P?X?xi??pig 1 43 4 1 P?Y?yj??pgj 1 241 81 61 83 81 21 121 41 3
12、随机变量（X，Y）的概率密度为
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f（x，y）=?
0,其他.?求边缘概率密度.
【解】fX(x)??????f(x,y)dy
x2???04.8y(2?x)dy?2.4x(2?x),0?x?1, =? ??其他.?0,??0, fY(y)??????f(x,y)dx
?14.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2),0?y?1,??? =??y 0,其他.???0,
13维随机变量（X，Y）的概率密度为
?e?y,0?x?y,f（x，y）=?
其他.?0,求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
???y?x???xedy?e,x?0, =? ??其他.?0,??0,fY(y)??????f(x,y)dx
y?y?x???0edx?ye,y?0, =? ??其他.?0,??0,
?4xy, 0?x?1,0?y?1,16 知随机变量X和Y联合概率密度为 f?x,y???
0, 其他?求⑴ 条件密度fX|Y?x|y?及fY|X?y|x?;
【解】⑴ 由于X的边缘密度为 fX?x????????1?4xydy, 0?x?1?2x, 0?x?1 f?x,y?dy????? 0?0, 其他.?0, 其他?同理，有 fY?y????????2y, 0?y?1, f?x,y?dx??0, 其他??4xy, 0?x?1,f?x,y??故当0?y?1时，fY?y?>0，且 fX|Y?x|y?? ??2yfY?y???0, 其他从而，在?Y?y?条件下，X的条件密度为 fX|Y?x|y????2x, 0?x?1,0?y?1,
0, 其他??2y, 0?y?1,0?x?1,
?0, 其他32同样可得，在?X?x?条件下，Y的条件密度为 fY|X?y|x???17、（12分）随机变量X和Y均服从区间[0，2]上的均匀分布且相互独立．
1．写出二维随机变量（X,Y）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求P{X?Y?}． 解：(1)由题意得：
?1?1,0?x?2??,0?y?2 fY(y)??2 fX(x)??2???0,其它?0,其它又∵ X,Y相互独立
?1?,∴ f(x, y)=fX(x)fY(y)=?4??0,(2) P{X?Y?}?0?x?20?y?2其它
32??x?y?f(x,y)dxdy?32x?y?1??34dxdy
2=
?320dx?3?x2024dy= 432四、正态分布、中心极限定理、
1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平均成绩为72分，
96分以上的占考生总数的2.3% 。试求：
（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率； （2）该地外语考试的及格率；
（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。（ ??1??0.8413， ?(2)?0.977 ） 解：依题意，X~N(72,?2)且P?X?96??0.023
0.023?1?P?X?96??1??(96?72?)查表得???12
(1)P?60?X?84??2?(1)?1?0.6826 (2) P?X?60???(1)?0.8413
(3)设全班人数为n， 由(2) 知不及格率为0.1587， 则n?2，则不及格人数为0.1587n?14 0.0232、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布N?65,100?，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。??2??0.9772 解：依题意，X~N(65,100)，85分以上学生为优秀，则
???X?6585?65?P?X?85??1?P?X?85??1?P????1???2??1?0.9772?0.0228?2.28% 1010??所以优秀学生为2.28%。
4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X~N170,62，问车门的高度应如何确定？（??2.33??0.99） 解：设车门的高度为x厘米，则
???X??x????X?170x?170?P?X?x??P?????P???1?0.01?0.99， ??2.33??0.99
??6????6所以
x?170?2.33,6xB183.98。即车门的高度至少要183.98厘米。
5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X:N168,72，问车门的高度应如何确定？(??2.33??0.99) 解：设车门的高度为x厘米，则
???X??x????X?168x?168?P?X?x??P???P?????1?0.01?0.99，
??77??????2.33??0.99 所以
x?168?2.33,7xB184.31。即车门的高度至少要184.31厘米。
7. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于
90%，问这批产品至少要生产多少件？
概率论与数理统计C的习题集-计算题
