2024版江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题五 第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质

x2y2

1．(2024·南京模拟)椭圆＋＝1的离心率是________．

2594

[详细分析] 由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝．

54

[答案] 5

x2y2

2．(2024·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知方程＋＝1表示双曲线，则

m＋1m2＋m2实数m的取值范围是________．

m＋1?>0xy2[详细分析] 因为方程＋＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，，?m＋1m＋m

?m＋m<0

2

2

22

2

解得－1

1?m＋<0当焦点在y轴上时，?2，解得m<－1．

?m＋m>0

2

所以实数m的取值范围是m<－1或－1

3．(2024·南京、盐城模拟)若双曲线x2－y2＝a2(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝________．

[详细分析] 双曲线x2－y2＝a2的右焦点的坐标为(2a，0)，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，从而2a＝1，故a＝[答案]

2

2

2． 2

4．(2024·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，以直线y＝±2x为渐近线，且经过抛物线y2＝4x焦点的双曲线的方程是________．

[详细分析] 因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线x2y2b标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．又双曲线的渐近线为y＝±2x，故＝2．即所求双曲线的

abay2

标准方程为x－＝1．

4

2

y2

[答案] x－＝1

4

2

- 1 -

x2y2

5．(2024·镇江期末)若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于

ab1

焦距的，则该双曲线的渐近线方程是________．

4

1

[详细分析] 不妨设焦点为(c，0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，故(2c)

4＝

bca2＋b

bc

＝＝b，即c＝2b，从而a＝c2

c2－b2＝

4b2－b2＝3b，故双曲线的渐近线方程

b3

为y＝±x＝±x．

a3

3[答案] y＝±x

3

x2y2

6．(2024·江苏省高考名校联考(三))如图，若C是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上位于第一象限

ab内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC＝OF，AB∥OC，则该椭圆的离心率为________．

22?x2?0＋y0＝c??

[详细分析] 设点C(x0，y0)，则?y0b，解得?

??x0＝a?y0＝x0＝a2c2

a2＋b2a2＋b2

，代入椭圆方程得2＋abca2＋b2

ac

?

b2c2

a2＋b2

2222222222

2＝1，整理得2c＝a＋b，又a＝b＋c，故2c＝a＋a－c， b

2所以e2＝，

3又0＜e＜1，故e＝[答案]

6 3

6． 3

x2y2

7．(2024·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的

ab右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为______．

ba2

[详细分析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x，右准线方程为x＝，联立可求得两交点的纵

ac

- 2 -

ab

，则该双曲线的离心率为4

ab12aba2abc2c

坐标为±，所以△AOB的面积S＝××＝，得2＝4，e＝＝2．

c2cc4aa

[答案] 2

x2y2

8．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P

ab→→

是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF1·PF2的最小值的取值范围是________．

m2n2

[详细分析] 设P(m，n)，则2－2＝1，

abn

1＋2?． 即m＝a??b?2

2

2

又F1(－1，0)，F2(1，0)，

→→

则PF1＝(－1－m，－n)，PF2＝(1－m，－n)， n2?→→2222?PF1·PF2＝n＋m－1＝n＋a?1＋b2?－1 a

1＋2?＋a2－1≥a2－1， ＝n??b?2

2

当且仅当n＝0时取等号， →→

所以PF1·PF2的最小值为a2－1．

111153由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，

a42164153→→

－，－?． 即PF1·PF2的最小值的取值范围是?4??16153

－，－? [答案] ?4??16

9．(2024·江苏高考命题研究专家原创卷)已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3，O为坐标原点，则△AOF的面积和△BOF的面积的比值为________．

[详细分析] 易知F(1，0)，不妨设A在第一象限，B在第四象限．因为|AF|＝3，所以xA

＋1＝3，解得xA＝2，代入抛物线方程可得y2A＝4×2，得yA＝22，所以直线AB的方程为y＝22－02－1

(x－1)，即y＝22x－22．

??y＝22x－22

联立?2，消去x得，y2－2y－4＝0，

??y＝4x

- 3 -