其中?N(0,?2)从中获得了n组独立观测值(x?,y?)，能否求出?0,?1,,?p的最小二乘估计，试写出最
小二乘估计的公式，能否检验假设 H0:?i?0 试写出检验的拒绝域。
1ni解 若记X?i?x?,Xi??x???1,n??1in,n;i?1,,p
lij??(X?i?Xi)(X?j?Xj)i,j?1,??1n,p
li0??(X?i?Xi)(y??y)i?1,??1,p
则?1,,?p的最小二乘估计为下述方程组的解：
??l????l?l11??l1p?1122?p10???l????l??l2p??l21?1222?p20 ? （*）
???????lp1?1?lp2?2??lpp?p?lp0?0的最小二乘估计为：
??y???X? ?011?X ??pp若把方程组（*）的系数矩阵记为L，则L?(lij)，又记L?1?(lij)，则在显著性水平?上检验H0:?i?0的拒绝域是：
?2? Fi?iji2?F1??(1,n?p?1)
?l??2?其中，?1?l?{?(y??y)2??110n?p?1??l} ??pp08.7 某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：
尿贡含量x 肖光系数y 已知它们之间有下述关系式： yi??0??1xi??ii?1,2,3,4,5
16
2 64 4 138 6 205 8 285 10 360
各?i相互独立，均服从N(0,?2)分布，试求?0,?1的最小二乘估计，并给出检验假设 H0:?1?0 的拒绝域。
解 由数据可以求得，n=5 ?x??30，x?6
? ?y??1052,y?210.4
? ?x2220,?x2???y??7790,?y??275990
??? lxx?40,lxy?1478,lyy?54649.2 则，最小二乘估计为：
??0??11.3,??1?36.95 检验假设H0:?1?0可用统计量 ?? F?1lxy(l4416?F1??(1,3)?34.1,??0.01
yy???l)/(n?2)?1xy因此，拒绝原假设。
8.8 研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况，得到18组数据如下，其中，
x1——土壤内所含无机磷浓度
x2——土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度 x3——土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷浓度
y——载在20。C土壤内的玉米中可给态磷的浓度
已知y与x1,x2,x3之间有下述关系：
yi??0??1xi1??2xi2??3xi3??ii?1,2,,18
各?i相互独立，均服从N(0,?2)分布，试求出回归方程，并对方程及各因子的显著性进行检验。土壤样本 x1 x2 x3 y
17
1 0.4 53 158 64 2 0.4 23 163 60 3 3.1 19 37 71 4 0.6 34 157 61 5 4.7 24 59 54 6 1.7 65 123 77 7 9.4 44 46 81 8 10.1 31 117 93 9 11.6 29 173 93 10 12.6 58 112 51 11 10.9 37 111 76 12 23.1 46 114 96 13 23.1 50 134 77 14 21.6 44 73 93 15 23.1 56 168 95 16 1.9 36 143 54 17 26.8 28 202 168 18 29.9 51 124 99
p?3,n?18
x1?11.94,x2?42.11,x3?123,y?81.28
?l11ll13?L??12?l21l22l????1752.96441085.61111200.0000???1085.61113155.77783364.0000?23?l31l32l??
33????1200.00003364.000035572.0000???l??l10??l???3231.4778???20?l??30??2216.4445???7953.0000?
???l11l12l13??0.000725L?1???l21l22l23??????0.000248?0.000001???0.0002480.000437?0.000033??l31l32l33????
??0.000001?0.0000330.000031??
由上述数据可以求得下面的结果： 18
????1?1.784780??????????L?1l???0.083397? ?2??????0.161133???3???????y???x???x???x?43.652198 ?0112233所求得的回归方程为
??43.65?1.78x1?0.08x2?0.16x3 y记
ST??(y??y)2?12389.6111??l?6806.1115SR???jj0j?13
Se?ST?SR?5583.4997对方乘作检验的F统计量为： F?SR/p?5.6885?F1?0.05(3,14)?3.34
Se/(n?p?1)故在??0.05的水平上方程是显著的。
对各因子作F检验的统计量分别为
F1??2?1l11Se/(n?p?1)?2?2lSe/(n?p?1)?2?3l33Se/(n?p?1)22?11.02?F0.95(1,14)?4.60
F2??0.0399?F0.95(1,14)?4.60
F3??2.0822?F0.95(1,14)?4.60
故在??0.05的水平上，x1是显著的，x2与x3是不显著的。
8.8 某种膨胀合金含有两种主要成分，做了一批试验如表所示，从中发现这两种成分含量和x与合金的膨胀数y之间有一定关系。
（1）试确定x与y之间的关系表达式 （2）求出其中系数的最小二乘估计 （3）对回归方程及各项作显著性检验
试验号
金属成分和x 膨胀系数y 19
1 37.0 3.40 2 37.0 3.00 3 38.0 3.00 4 38.5 3.27 5 39.0 2.10 6 39.5 1.83 7 40.0 1.53 8 40.5 1.70 9 41.0 1.80 10 41.5 1.90 11 42.0 2.35 12 42.5 2.54 13 43.0 3.90 解 （1）由散点图可知y与x的关系为： y??0??21x??2x?? 并可假设?N(0,?2)。
（2）由以上数据可求得：
p?2, n?13
x?40, x2?x2?1603.5， y?2.409231
L???l11l12??l?=??45.503640.00?21l22??3640.00291325? ?l???l10???6.37? ?l????20???490.08?L?1???l11l12??51.170829?0.639361??l21l22??????0.3693610.007992?
?据最小二乘估计为：
????1???L?1??12.620320??l?????? 2???0.156004???0?y???1x???2x2?257.069610 则回归方程为：
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概率论与数理统计教程 魏宗舒 课后习题解答答案_7-8章汇总
