第七章 假设检验
7.1 设总体??N(?,?2)，其中参数?，?2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：
（1）H0:??0,??1； （2）H0:??0,??1； （3）H0:??3,??1； （4）H0:0???3； （5）H0:??0.
解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设?1,?2,,?25取自正态总体N(?,9)，其中参数?未知，x是子样均值，如对检验问题
,x25):|x??0|?c}，试决定常数c，使检验的显著性
H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域：c?{(x1,x2,水平为0.05
解：因为??N(?,9)，故??N(?,在H0成立的条件下，
9) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53
5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96，所以c=1.176。 3322已知，对假设检验H0:???0,H1:???0，取临界域,?25取自正态总体N(?,?0)，?07.3 设子样?1,?2,c?{(x1,x2,,xn):|??c0}，
（1）求此检验犯第一类错误概率为?时，犯第二类错误的概率?，并讨论它们之间的关系；
2（2）设?0=0.05，?0=0.004，?=0.05，n=9，求?=0.65时不犯第二类错误的概率。
2?0解：（1）在H0成立的条件下，??N(?0,n)，此时
????0?c??0 ??P0(??c0)?P0?n?0n?
?0??0?
1
所以，c0??0?n??1??，由此式解出c0??0???0
0n?1?在H1成立的条件下，??N(?,?20n)，此时
??P????c0??1(??c0)?P1???n??n??00??0?1????0????(c0???n)??(n?n)
00??(?1??????0?n)0由此可知，当?增加时，?1??减小，从而?减小；反之当?减少时，则?增加。 （2）不犯第二类错误的概率为
1???1??(????01????n)0
?1??(?0.65?0.500.95?0.23) ?1??(?0.605)??(0.605)?0.72747.4 设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：H:f??10?x?100(x)?H?2x0?x?1?0其他1:f1(x)??其他 ?0试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足??2??min，并求其最小值。 解 设检验函数为
?(x)???1x?c?0其他（c为检验的拒绝域）
??2??P0(x?c)?2P1(x?c)?P0(x?c)?2[1?P1(x?c)]?E0?(x)?2[1?E1?(x)]
11???(x)dx?2(1??2x?(x)dx)001?2??(1?4x)?(x)dx0要使??2??min，当1?4x?0时，?(x)?0
2
当1?4x?0时，?(x)?1
1?1x?1?7?4所以检验函数应取?(x)??，此时，??2??2??(1?4x)dx?。
80?0x?1??47.5 设某产品指标服从正态分布，它的根方差?已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时? 解 总体??N(?,1502)，对假设，H0:??1600，采用U检验法，在H0为真时，检验统计量
u?x-?0n?1.2578
?0临界值u1??/2?u0.975?1.96
|u|?u1??/2，故接受H0。
7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64?，根方差保持在0.06?，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62?，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平
?=0.01。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?，则E???未知，D??(0.06)2， 假设为 H0:??2.64，统计量 u??-?0n??3.33 ?由于u1-?/2?u0.995?2.10?|u|，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：
实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？
解 此问题可以归结为判断??x1?x2是否服从正态分布N(0,?2)，其中?2未知，即要检验假设H0:??0。 由t检验的统计量 t?
???0*snn?0.1?08??0.389
0.7273
取?=0.10，又由于，t0.95(7)?1.8946?|t|，故接受H0
7.8 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。 解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量?，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及s*2n??0.16?，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验
2H0:E??0.973?H1:E??0.973
由于D?未知，且n较大，用t检验，统计量为
t????0*snn?0.994?0.973200?1.856
0.16查表知t0.95(199)?1.645，故拒绝原假设，不能推广。 7.9在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为(x1,x2,,x10)，(y1,y2,,y10)，假设作物产量服
*从正态分布，并计算得x?30.97，y?21.79，s*x?26.7，sy?12.1取显著性水平0.01，问是否可认为两
个品种的产量没有显著性差别？
2解 甲作物产量??N(?1,?12)，乙作物产量??N(?2,?2)，即要检验
H0:?1??2
2'2由于?12，?2未知，要用两子样t检验来检验假设H0，由F检验，统计量为 :?12??2F?s*21226.7s?*2212.12?4.869?F0.995(9,9)?6.54（取显著性水平0.01）
'2故接受假设H0，于是对于要检验的假设H0:?1??2取统计量 :?12??2t?x?y*2*2(n1?1)s1?(n2?1)s2n1n2(n1?n2?2)?0.99
n1?n2又??0.01时，t0.995(18)?2.878?|t|，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。
7.10有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）：
甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9 乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。
4
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为??0.05。
*22解：假定甲产品直径服从N(?1,?12)，由子样观察值计算得x?20.00，sn?(0.3207)?0.1029。 1*22乙产品直径服从N(?2,?2?0.3967。 )，由子样观察值计算得y?20.00，sn2要比较两台机床加工的精度，既要检验
2 H0:?12??2
由 F-检验
s F?nsn*2*21?0.1029?0.2594
0.39672??0.05时查表得：F0.975(7.6)?5.70， F0.025(7.6)?11??0.1953
F0.975(6.7)5.12由于F0.025(7.6)?F?F0.975(7.6)，所以接受H0，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。 7.11 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm） 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值?的90%的置信区间 （1）??0.01cm； （2）?未知
解 （1）由子样函数U?u0.95?nu0.95?n???n?N(0,1)，p(|U|?u0.95)?0.90，可求?的置信区间
置信下限 ???2.121
置信上限 ???2.129
（2）在?未知时，由子样函数t?为
???s*nnt(n?1)，p(|t|?t0.95(n?1))?0.90可 求得?置信区间
5
概率论与数理统计教程 魏宗舒 课后习题解答答案_7-8章汇总
