第七章 假设检验
7.1 设总体??N(?,?2),其中参数?,?2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:
(1)H0:??0,??1; (2)H0:??0,??1; (3)H0:??3,??1; (4)H0:0???3; (5)H0:??0.
解:(1)是简单假设,其余位复合假设 7.2 设?1,?2,,?25取自正态总体N(?,9),其中参数?未知,x是子样均值,如对检验问题
,x25):|x??0|?c},试决定常数c,使检验的显著性
H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域:c?{(x1,x2,水平为0.05
解:因为??N(?,9),故??N(?,在H0成立的条件下,
9) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53
5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96,所以c=1.176。 3322已知,对假设检验H0:???0,H1:???0,取临界域,?25取自正态总体N(?,?0),?07.3 设子样?1,?2,c?{(x1,x2,,xn):|??c0},
(1)求此检验犯第一类错误概率为?时,犯第二类错误的概率?,并讨论它们之间的关系;
2(2)设?0=0.05,?0=0.004,?=0.05,n=9,求?=0.65时不犯第二类错误的概率。
2?0解:(1)在H0成立的条件下,??N(?0,n),此时
????0?c??0 ??P0(??c0)?P0?n?0n?
?0??0?
1
所以,c0??0?n??1??,由此式解出c0??0???0
0n?1?在H1成立的条件下,??N(?,?20n),此时
??P????c0??1(??c0)?P1???n??n??00??0?1????0????(c0???n)??(n?n)
00??(?1??????0?n)0由此可知,当?增加时,?1??减小,从而?减小;反之当?减少时,则?增加。 (2)不犯第二类错误的概率为
1???1??(????01????n)0
?1??(?0.65?0.500.95?0.23) ?1??(?0.605)??(0.605)?0.72747.4 设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体,对f(x)考虑统计假设:H:f??10?x?100(x)?H?2x0?x?1?0其他1:f1(x)??其他 ?0试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足??2??min,并求其最小值。 解 设检验函数为
?(x)???1x?c?0其他(c为检验的拒绝域)
??2??P0(x?c)?2P1(x?c)?P0(x?c)?2[1?P1(x?c)]?E0?(x)?2[1?E1?(x)]
11???(x)dx?2(1??2x?(x)dx)001?2??(1?4x)?(x)dx0要使??2??min,当1?4x?0时,?(x)?0
2
当1?4x?0时,?(x)?1
1?1x?1?7?4所以检验函数应取?(x)??,此时,??2??2??(1?4x)dx?。
80?0x?1??47.5 设某产品指标服从正态分布,它的根方差?已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%的显著性水平下,能否认为该批产品指标为1600小时? 解 总体??N(?,1502),对假设,H0:??1600,采用U检验法,在H0为真时,检验统计量
u?x-?0n?1.2578
?0临界值u1??/2?u0.975?1.96
|u|?u1??/2,故接受H0。
7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64?,根方差保持在0.06?,改变加工工艺后,测得100个零件,其平均电阻为2.62?,根方差不变,问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?去显著性水平
?=0.01。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?,则E???未知,D??(0.06)2, 假设为 H0:??2.64,统计量 u??-?0n??3.33 ?由于u1-?/2?u0.995?2.10?|u|,故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.7有甲乙两个检验员,对同样的试样进行分析,各人实验分析的结果如下:
实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异?
解 此问题可以归结为判断??x1?x2是否服从正态分布N(0,?2),其中?2未知,即要检验假设H0:??0。 由t检验的统计量 t?
???0*snn?0.1?08??0.389
0.7273
取?=0.10,又由于,t0.95(7)?1.8946?|t|,故接受H0
7.8 某纺织厂在正常工作条件下,平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根,每台布机的平均断头率的根方差为0.162根,该厂作轻浆试验,将轻纱上浆率减低20%,在200台布机上进行实验,结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根,根方差为0.16,问新的上浆率能否推广?取显著性水平0.05。 解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量?,有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及s*2n??0.16?,问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大,即要检验
2H0:E??0.973?H1:E??0.973
由于D?未知,且n较大,用t检验,统计量为
t????0*snn?0.994?0.973200?1.856
0.16查表知t0.95(199)?1.645,故拒绝原假设,不能推广。 7.9在十块土地上试种甲乙两种作物,所得产量分别为(x1,x2,,x10),(y1,y2,,y10),假设作物产量服
*从正态分布,并计算得x?30.97,y?21.79,s*x?26.7,sy?12.1取显著性水平0.01,问是否可认为两
个品种的产量没有显著性差别?
2解 甲作物产量??N(?1,?12),乙作物产量??N(?2,?2),即要检验
H0:?1??2
2'2由于?12,?2未知,要用两子样t检验来检验假设H0,由F检验,统计量为 :?12??2F?s*21226.7s?*2212.12?4.869?F0.995(9,9)?6.54(取显著性水平0.01)
'2故接受假设H0,于是对于要检验的假设H0:?1??2取统计量 :?12??2t?x?y*2*2(n1?1)s1?(n2?1)s2n1n2(n1?n2?2)?0.99
n1?n2又??0.01时,t0.995(18)?2.878?|t|,所以接受原假设,即两品种的产量没有显著性差别。
7.10有甲、乙两台机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:mm):
甲 20.5 ,19.8 ,19.7 ,20.4 ,20.1 ,20.0 。19.6 ,19.9 乙 19.7 ,20.8 ,20.5 ,19.8 ,19.4 ,20.6 ,19.2 。
4
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异?显著性水平为??0.05。
*22解:假定甲产品直径服从N(?1,?12),由子样观察值计算得x?20.00,sn?(0.3207)?0.1029。 1*22乙产品直径服从N(?2,?2?0.3967。 ),由子样观察值计算得y?20.00,sn2要比较两台机床加工的精度,既要检验
2 H0:?12??2
由 F-检验
s F?nsn*2*21?0.1029?0.2594
0.39672??0.05时查表得:F0.975(7.6)?5.70, F0.025(7.6)?11??0.1953
F0.975(6.7)5.12由于F0.025(7.6)?F?F0.975(7.6),所以接受H0,即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。 7.11 随机从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(cm) 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
设钉长服从正态分布,分别对下面两个情况求出总体均值?的90%的置信区间 (1)??0.01cm; (2)?未知
解 (1)由子样函数U?u0.95?nu0.95?n???n?N(0,1),p(|U|?u0.95)?0.90,可求?的置信区间
置信下限 ???2.121
置信上限 ???2.129
(2)在?未知时,由子样函数t?为
???s*nnt(n?1),p(|t|?t0.95(n?1))?0.90可 求得?置信区间
5
概率论与数理统计教程 魏宗舒 课后习题解答答案_7-8章汇总
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