???f?x??sin?2x??在?0,??上的草图为：
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当a?1或a??1时，直线y?a与曲线y?f?x?没有交点；
当a?1或a??1时，直线y?a与曲线
y?f?x??0,??上有1个交点，由函数y?f?x?的周期性可知，此时n?2017； 当33?a?1,?1?a?时，直线y?a与曲线22y?f?x??0,??上有2个交点，由函数y?f?x?的周期性可知，直线直线y?a与曲线y?f?x??0,n??上总有偶数个交点；
当a?3时，直线y?a与曲线y?f?x??0,??上有3个交点，由函数y?f?x?的周期2性及图象可知，此时n?1008. 综上所述，当a?1，n?2017或a??1，n?2017，或a?3,n?1008时，2F?x??f?x??a在?0,n??上恰有2017个零点.
21．某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金t的关系式分别为y1?11at,y2?t，其中a为常数且10100?a?2.设对乙种产品投入奖金x百万元，其中1?x?4．
（1）当a?1时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y?y1?y2） 3（2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于2a1?，求a的取值范围． 5201时， 3【答案】（1）当a?y?y1?y2?11x?x?3x?5???5?x????1?x?4? 1031030?t2?3t?53令t?x，则1?t?2y?，其图象的对称轴t???1,2? 302?当t?3911时，总收益y有最大值，此时x?,5?x?. 244911百万元，乙种产品投资百万元时，总收益最大 44xa?5?x??ax?x?5a2a1????恒成立， 101010520即甲种产品投资（2）由题意知y?即?ax?x?a?1恒成立，令g?x???ax?x?a，设t?x，则t??1,2? 21311，①当?，即?a?2时，可得2a22a3则g?t???at?t?a，其图象的对称轴为t?2g?t?min?g?2??2?3a?1111，则a?，??a? 2232②当31111?，即0?a?时，可得g?t?min?g?1??1?恒成立，?0?a? 22a3231?1?.∴实数a的取值范围是?0,?. 2?2?综上可得0?a?22．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x?D，存在常数M?0，都有f(x)?M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为f(x)的上界．已知函数
bcf(x)?1?a()x?()x．
24（I）当a?b?c?1时，求函数f(x)在(??,0)上的值域，并判断函数f(x)在(??,0)上是否有上界，请说明理由； （II）若 ，函数f(x)在?0,???是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；?（III）已知s为正整数，当a?1,b??1,c?0时，是否存在整数?，使得对任意的n?N，不等式s??f(n)?s?2恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由．
【答案】：解：（I）当a?b?c?1时，f(x)?1?()?()，
易知f(x)在(??,0)上单调递减，∴f(x)?f(0)?3．∴f(x)在(??,0)上的值域为12x14x(3,??)．∴不存在常数M?0，使得f(x)?M成立，∴f(x)在(??,0)上没有上界．
x（II）由题意知，f(x)?3在?0,???上恒成立．令t?(),0?t?1，
122∴题意等价于?3?1?at?t?3在t??0,1?上恒成立．??42?t?a??t在t??0,1?tt上恒成立．???42?4??2??t??a???t?．设g(t)???t,h(t)??t,0?t?1易知tt?t?max?t?minh(t)在?0,1?上递减．
令0?t1?t2?1，有g(t1)?g(t2)?(?(t?t)(tt?4)44?t1)?(??t2)?2121?0 t1t2t1t2∴g(t)在?0,1?上递增．∴g(t)max?g(1)??5，h(t)min?h(1)?1．∴实数a的取值范围是??5,1?．
（III）当a?1,b??1,c?0时，
1f(n)?1?(?)n?0，∴题意等价于
2s11?(?)n2???s?2?对任意的n?N恒成立．∵当n为正奇数时，11?(?)n21115?1?(?)n?1；当n为正偶数时，1?1?(?)n?， 2224∴2s???444(s?2)．∴当2s?(s?2)，即s?时，不存在满足题意的?；
355当2s?44?4?(s?2)，即0?s?时，存在满足题意的?，且???2s,(s?2)?．
35?5?∵s为正整数，∴s?1．此时，???2,?12?，∵?为整数，∴??2． ??5?
湖南省衡阳市高一下学期五科联赛试题（12月）数学Word版含答案
