数学分析中求极限的方法总结
1 利用极限的四则运算法则和简单技巧
极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1：如果limf（x）=?,limg（x）=? x?x0x?x0（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0（2）lim?f（x）?g（x）?=limf（x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0limf(x)?f(x)x?x（3）若B≠0 则：lim?0? x?x0g(x)limg(x)?x?x0（4）limc?f(x)?c?limf(x)?c? x?x0x?x0（5）lim?f(x)?x?x0n??limf(x)???n（n为自然数） ?x?x0???n上述性质对于x??,x???,x???也同样成立i
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
x2?5例1. 求lim的极限
x?2x?3
解：由定理中的第三式可以知道
x2?5??x2?5limx?2lim? x?2x?3lim?x?3?
x?2
?limx2?lim5x?2limx?lim3
x?2x?2x?222?5 ???92?3
例2. 求limx?3x?1?2的极限x?3
解：分子分母同时乘以x?1?2 1
limx?1?2?x?1?2??x?1?2? x?3x?3?limx?3?x?3??x?1?2? ?3
?limxx?3?x?3??x?1?2?
?14
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知x1n?1?2?12?3?LL?1?n?1??n，求limn??xn 解： 观察
111111111?2=1?2 2?3=2?3 ?n?1??n=?n-1??n 因此得到 xn?11?2?12?3?LL?1
?n?1??n ?1?11111112?2?3?3LL?n?1?n?1?n
?1?1n 所以 lim??1?n??xn?limn???1?n???1
2 利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，???，则
?y?f?x0??x??f?x0? 如果
lim?yf?x0??x??f?x??x?0?x??limx?0?x 存在，
则此极限值就称函数f(x)在点x0的导数记为f'?x0?。 即
f'?x?x0??x??f?x0?0??limf?x?0?x
2
在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点x0的导数。
?x?2??ctg2x的极限例4. 求limxx?2 11x?2??ctg2x?解：lim??xtg2x??? x?2limtg2x?tg2???xx2x???2x?lim2x?x?x?22 ???f?x??f???2??1?limx????x?x?2f'??2?2??
3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式：
12
（1）limsinx?1，
x?0x?1?（2）lim?1???e
x???x?x 但我们经常使用的是它们的变形：
sin??x??1,???x??0? ， （1）lim??x??1?lim1??（2）???x???????x??e,???x????求极限。
例5：lim(x?01?2x)(1?x)1x
1x解：为了利用极限lim(1?x)?e故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，
x?0第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
3
1?2x)lim(x?0(1?x)1x?3xx=lim(1?) x?01?x1?x1?3x???3xx1?x1??3x?=lim?1??x?01?x??
1?x?3?3x?3x1?x)]?e?3 =lim[(1?x?01?x
1?cosxx?0x2
解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以
例6：lim1?cosxx?0x2
x2sin22=lim2x?0x xsin212?1 =limx?02x2
()22 lim(1?2x)lim例7: 求
x?01x的极限
11??22x2x(1?2x)?(1?2x)?e??lim解：原式=x?0? ?利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 4 利用函数的连续性
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果f(x)是初等函数,且x0limf(x)?f(x0)是f(x)的定义区间内的点, 则x?x0。 例8：limarcsin x?12x?16
解 :因为复合函数arcsin是初等函数,而x?1是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此
4
2x?12x?1limarcsin?arcsinx?166
1?=arcsin=26
例8：求limlnsinx?x? 2解： 复合函数lnsinx在x?的函数值
?2处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处
lnsinx?lnsin即有lim?x?2?2
=limsin =0 5 利用两个准则求极限。
?2?ln1
（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N时，有xn?yn?zn且
limxn?limzn?a,则有limyn?ax??x?? x??。
利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列?yn?和 ?zn?，使得yn?xn?zn。
xn?1n2?1?1n2?2?.......1
例9 ： 求xn的极限
n2?n
解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项
xn?1n2?n1n2?1??1n2?n1n2?1?.......?1n2?n1n2?1??nn2?1
nn2?n
xn??.......? 则nn2?n?xn?nn2?1
5
(完整版)数学分析中求极限的方法总结.
