湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：2.6 对数与对数函数

A．a＋b>0 C．2a＋b>0 答案 (1)B (2)A

B．a＋b>1 D．2a＋b>1

1－

解析 (1)由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3x＝()x，

3显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.

(2)作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，

?a＋b?2

由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋

4b)(a＋b＋4)>0，显然－10， ∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0，故选A. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小

例3 (2020·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x

－m|

－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，

b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＜b＜c C．c＜a＜b 答案 C 解析 由f(x)＝2|x

－m|

B．a＜c＜b D．c＜b＜a

－1是偶函数可知m＝0，

所以f(x)＝2|x|－1. 所以a＝f?log0.53?＝2log0.53 －1＝2log23－1＝2，b＝f?log25?＝2log25 －1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c

2

例4 (1)若loga<1，则a的取值范围是 ．

3

?3x?1(x≤0)，?(2)(2020·北京东城区模拟)已知函数f(x)??logx(x＞0)，则不等式f(x)>1的解集

1??3为 ．

21

答案 (1)(0，)∪(1，＋∞) (2)(－1，)

33

2

解析 (1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga

3当0

332故0

2

综上，a的取值范围为(0，)∪(1，＋∞)．

3

(2)若x≤0，则不等式f(x)>1可转化为3x1>1?x＋1>0?x>－1，∴－1

若x>0，则不等式f(x)>1可转化为log1x>1?x<，

3

3＋

11

∴01的解集是(－1，)．

33命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，

因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0，得－1

则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，

单调递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， a>0，??1即?3a－1解得a＝.

2

??a＝1，1

故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.

2思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；

③借用中间量(0或1等)进行估值比较．

(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．

?21x，x≤1，?

(1)设函数f(x)＝?则满足

??1－log2x，x>1，

－

f(x)≤2的x的取值范围是( ) A．[－1,2] C．[1，＋∞)

B．[0,2] D．[0，＋∞)

(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( ) A．[1,2) C．[1，＋∞) 答案 (1)D (2)A

解析 (1)当x≤1时，21x≤2，解得x≥0， 所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，

－

B．[1,2] D．[2，＋∞)

1

解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.

2

(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]

?g?1?>0，?2－a>0，??

上递减，则有?即?

??a≥1，a≥1，??

解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.

高频考点

3．比较指数式、对数式的大小

考点分析 比较大小问题是每年高考必考内容之一：

(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

典例 (1)(2020·全国乙卷)若a>b>0,0

B．logcacb

(2)(2020·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则( ) A．b>c>a C．a>b>c

B．b>a>c D．c>a>b

(3)若实数a，b，c满足loga2

B．b

lg clg c

解析 (1)对A：logac＝，logbc＝，

lg alg b

因为0b>0，所以lg a>lg b， 但不能确定lg a、lg b的正负， 所以它们的大小不能确定，所以A错； lg alg b

对B：logca＝，logcb＝，

lg clg c

1

而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以B正确；

lg c对C：由y＝xc在第一象限内是增函数， 即可得到ac>bc，所以C错；

对D：由y＝cx在R上为减函数， 得ca

(2)因为20.3>20＝1,0＝logπ1b>c，故选C.

(3)由loga2

后作业认真做

lg?x＋1?1．函数y＝的定义域是( )

x－1A．(－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) 答案 C

lg?x＋1?

解析 要使有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.

x－12．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( ) A．b

解析 ∵a＝log37，∴12. ∵c＝0.83.1，∴0

3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )

B．c