湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：2.6 对数与对数函数

第二章 函数概念与基本初等函数I

2.6对数与对数函数

课内基础通关

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②loga＝logaM－logaN；

N③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质 ①alogaN＝ N ；②logaaN＝ N (a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logcb

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

logca3．对数函数的图象与性质

y＝logax a>1 01时，y>0； 当0

(5)当x>1时，y<0； 当00 (7)在(0，＋∞)上是减函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．

课外知识延伸

1．换底公式的两个重要结论 1

(1)logab＝；

logba

(2)logambn?nlogab. m其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．( × )

(3)函数y＝log2x及y?log13x都是对数函数．( × )

3(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) 1＋x(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )

1－x

1?(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，??a，－1?，函数图象只在第一、四象限．( √ )

点自查

1．(教材改编)(log29)·(log34)等于( ) A.14 B.1

2 C．2 D．4 答案 D

解析 (log29)·(log34)＝2log23·2log32＝4. 2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )

答案 B

解析 由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确． 3．已知a＝5A．a>b>c C．a>c>b 答案 C

10log31log30.3?53, 解析 c?()5log23.41则( ) ，b＝5log43.6，c＝()log30.3，5B．b>a>c D．c>a>b

1010

∵log3>log33＝1且<3.4，

3310

∴log3

310

∵log43.61，

310

∴log43.6

310

∴log23.4>log3>log43.6.

3由于y＝5x为增函数，?5即5log23.4log23.4＞5log3103＞5log43.6.

1＞()log30.3＞5log43.6,故a>c>b.

54．(2020·成都模拟)函数y＝log0.5?4x－3?的定义域为 ． 3

答案 (，1]

4