专题检测（二十一） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策
略
1.(2019·济南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．
1(1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；
41
(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2(－22＜x＜22)
4上，求|AB|的最大值．
解：(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2??x＝4y，由?得x2－4kx－4m＝0， ?y＝kx＋m，?
Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 1212
x·x
y1·y24142x1·x2m
则kOA·kOB＝＝＝＝－，
x1·x2x1·x21641
由已知kOA·kOB＝－，得m＝1，满足Δ＞0，
4∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0,1)． (2)设M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝y0＝kx0＋m＝2k2＋m，
1
将M(x0，y0)代入y＝4－x2(－22＜x＜22)，得
41
2k2＋m＝4－×(2k)2，∴m＝4－3k2.
4
∵－22＜x0＜22，∴－22＜2k＜22，∴－2＜k＜2， ∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－2＜k＜2， 故k的取值范围是(－2，2)． ∴|AB|＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2
x1＋x2
＝2k， 2
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＝1＋k2·16?k2＋m?
＝42·?k2＋1??2－k2? ?k2＋1?＋?2－k2?
≤42·＝62，
2
2
当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±时取等号，
2∴|AB|的最大值为62.
x2y222
2．(2018·石家庄质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分ab3别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2＋y2＝9，求椭圆的长轴的长；
―→―→
(2)当b＝1时，问在x轴上是否存在定点T，使得TA·TB为定值？并说明理由． 解：(1)设AF1的中点为M，连接OM，AF2(O为坐标原点)， 在△AF1F2中，O为F1F2的中点，
111
所以|OM|＝|AF2|＝(2a－|AF1|)＝a－|AF1|.
2221
由题意得|OM|＝3－|AF1|，
2所以a＝3，故椭圆的长轴的长为6.
c22
(2)由b＝1，a＝，a2＝b2＋c2，得c＝22，a＝3，
3x22
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
9
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x＋22)，
22??x＋9y＝9，由?得(9k2＋1)x2＋362k2x＋72k2－9＝0， ?y＝k?x＋22??
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
72k2－9362k2则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
9k＋19k＋1y1y2＝k2(x1＋22)(x2＋22)＝
－k2
.
9k2＋1
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设T(x0,0)，
―→―→
则TA＝(x1－x0，y1)，TB＝(x2－x0，y2)，
22
?9x20＋362x0＋71?k＋x0－9―→―→
TA·TB＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x2， 0＋y1y2＝
9k2＋1
1922
当9x2时， 0＋362x0＋71＝9(x0－9)，即x0＝－97―→―→TA·TB为定值，定值为x2. 0－9＝－81
11
－22，?，B?－22，－?， 当直线AB的斜率不存在时，不妨设A?3?3???7→―→?21??21??192，0?时，―
当T－TA·TB＝，·，－＝－81.
93????93??9→―→?192，0?，使得―
综上，在x轴上存在定点T－TA·TB为定值．
9??
x2y2
3．(2019届高三·西安八校联考)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的
ab右焦点F，抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.
(1)求椭圆C的方程；
―→―→―→―→
(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λ1AF， MB＝λ2BF，当m变化时，证明：λ1＋λ2
为定值；
(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
解：(1)∵l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F， ∴右焦点F(1,0)，c＝1，即c2＝1.
∵x2＝43y的焦点(0，3)为椭圆C的上顶点， ∴b＝3，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4， x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
??x＝my＋1，
(2)证明：由题意知m≠0，联立?
22??3x＋4y－12＝0
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
6m9
则y1＋y2＝－，y1y2＝－. 3m2＋43m2＋41―→―→―→―→
0，－?， ∵MA＝ λ1AF，MB＝λ2BF，M?m??1
x1，y1＋m?＝λ1(1－x1，－y1)， ∴???
?x2，y2＋1?＝λ2(1－x2，－y2)，
m??
∴λ1＝－1－
11
，λ2＝－1－， my1my2
－6m
3m2＋4y1＋y28
∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－. my1y23－9m
3m2＋4
8
综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－. 3
(3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形， 5?
易知AE与BD相交于点N??2，0?，
5?猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N??2，0?，证明如下： 3―→5
－x1，－y1?＝?－my1，－y1?， 则AN＝??2??2?―→3
，y2?. 易知E(4，y2)，则NE＝?2??
3?－9?333?－6m???∵?2－my1?y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝?3m2＋4?－m?3m2＋4?＝0，
222????―→―→
∴AN∥NE，即A，N，E三点共线． 同理可得B，N，D三点共线． 则猜想成立，
5?
故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N??2，0?.
x2y24．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段
43AB的中点为M(1，m)(m>0)．
第4页 共6页
1(1)证明：k<－；
2
―→―→―→―→―→―→
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2y2x2y21122
则＋＝1，＋＝1. 4343
x1＋x2y1＋y2两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
43x1－x2x1＋x2y1＋y23
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①
224m31
由题设得0 22(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)， 则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 3 又点P在C上，所以m＝， 43―→31，－?，|FP|＝， 从而P?2??2―→ 于是|FA|＝?x1－1?2＋y21＝ ?x1－1?2＋3 y1－y2 ?1－x1?＝2－x1. ?4?2 2x2―→ 同理|FB|＝2－. 2 1―→―→ 所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3. 2―→―→―→故2|FP|＝|FA|＋|FB|， ―→―→―→ 即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列． 设该数列的公差为d， ―→―→1 则2|d|＝||FB|－|FA||＝|x1－x2| 2＝12 ?x1＋x2?2－4x1x2.② 第5页 共6页 3将m＝代入①得k＝－1， 47 所以l的方程为y＝－x＋， 4 1代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0. 4故x1＋x2＝2，x1x2＝ 1321，代入②解得|d |＝. 28所以该数列的公差为32128或－32128. 第6页 28 共6页
高考二轮复习数学（文）通用版：专题检测（二十一）“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 Word版含解析
