心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：1?2 【解析】 【分析】
根据??x?y,x??cos?,y??sin?将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a. 【详解】
因为?2?x2?y2,x??cos?,y??sin?， 由?cos???sin??a(a?0)，得x?y?a(a?0)，
22222由??2cos?，得?=2?cos?，即x?y=2x，即(x?1)?y?1，
222因为直线与圆相切，所以【点睛】
1?a2?1，?a?1?2，Qa?0，?a?1?2.
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x??cos?及y??sin?直接代入并化简即可；
2（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如?cos?,?sin?,?的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)?及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
19．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即 解析：2?5
【解析】 【分析】 由题意可得y0?bx0，又由MF1?MF2，可得y02?x02?c2，联立得x0?a，y0?b，a2又由F为焦点的抛物线C2：y?2px(p?0)经过点M，化简得c2?4ac?a2?0，根据离心率e?【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为y??可得y0?c，可得e2?4e?1?0，即可求解． abx，焦点为F1??c,0?，F2?c,0?， abx0，① a又MF1?MF2，可得
y0y?0??1， x0?cx0?c222即为y0?x0?c，②由a2?b2?c2，联立①②可得x0?a，y0?b，
由F为焦点的抛物线C2：y?2px(p?0)经过点M， 可得b?2pa，且由e?22p
?c，即有b2?4ac?c2?a2，即c2?4ac?a2?0 2
c，可得e2?4e?1?0，解得e?2?5 a【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c的值，代入公式e?c；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为aa,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范
围)．
20．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单
?1?解析：?,2?
?2?【解析】 【分析】 作出可行域，即可求解. 【详解】
y表示?x,y?与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值x
?y?2?0?y如图，不等式组?x?y?1?0表示的平面区域VABC（包括边界），所以表示?x,y?x?x?y?3…0?与（0，0）连线的斜率，因为A?1,2?，B?2,1?，所以kOA?2，kOB?【点睛】
y?1?1，故??,2?.
x?2?2本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
三、解答题
21．(1) f?x?在?0,（2）?0,1?. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由f??x????1??1?,??单调递增，在???单调递减.
a??a?1?a,可分a?0,a?0两种情况来讨论；（II）由（I）知当x?1?ffxfx0,???无最大值,当a?0时??最大值为?a???lna?a?1.因此a?0时??在????1?f???2a?2?lna?a?1?0.令g?a??lna?a?1,则g?a?在?0,???是增函数,当?a?0?a?1时,g?a??0,当a?1时g?a??0,因此a的取值范围是(0,1).
试题解析：
（Ⅰ）f?x?的定义域为?0,???,f??x??是单调递增；若a?0,则当x??0,1?a,若a?0,则f??x??0,f?x?在?0,???x??1??1??x?,??fx?0,时当????时f??x??0,所以?a??a??1??1?f?x?在?0,?单调递增,在?,???单调递减.
?a??a?（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a?0时f?x?在?0,???无最大值,当a?0时f?x?在x?大值,最大值为f?1取得最a?1??1??1??ln?a????1????lna?a?1.因此aa?????a??1?f???2a?2?lna?a?1?0.令g?a??lna?a?1,则g?a?在?0,???是增函?a?数,g1=0,于是,当0?a?1时,g?a??0,当a?1时g?a??0,因此a的取值范围是
()(0,1).
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 22．（1）P(3,3)，x2?(y?3)2?4；（2）
115?1. 10【解析】 【分析】
（1）把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】
（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入计算，xP?23cos＝23??6?23??3?3，yP?23sin621?3， 2∴点P的直角坐标3,3，由?2?23?sin??1，得x2?y2?23y?1， 即x?y?32????2?4，所以曲线C的直角坐标方程为x?y?32??2?4
??x?3?2t?x?2cos?（2）曲线C的参数方程为?（?为参数），由l:?（t为参
??y??2?t?y??3?2sin?数），得直线l的普通方程为x?2y?7?0.
?3?MPQQ2cos?,?3?2sin?设，则中点??cos?,sin??，那么点M到直线l的距?2???离，
d?3?cos??2sin??721?222cos??2sin???5112?5sin??????5112?5??112?115?1，
105115?1. 10所以点M到直线l的最小距离为【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题． 23．见解析． 【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用函数的单调性进行推证；（2）借助题设条件运用反证法推证. 试题解析：
（1）任取x1，x2?(?1,??)，不妨设x1?x2，
则x2?x1?0，x2?1?0，x1?1?0，又a?1，所以ax2?ax1，
所以f(x2)?f(x1)?ax2?ax1?x2?2x1?23(x2?x1)??ax2?ax1??0， x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)故函数f(x)在(?1,??)上为增函数．
（2）设存在x0?0（x0??1）满足f(x0)?0， 则ax0?x0?2x0?2?1，即1?x0?2， ，且0?ax0?1，所以0?x0?1x0?12与假设x0?0矛盾，故方程f(x)?0没有负根．
考点：函数单调性的定义及反证法等有关知识的综合运用． 24．（1）f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,??)（2）a?e 【解析】 【分析】 【详解】
22：（Ⅰ）因为f(x)?alnx?x?ax(a?0)所以
a2(x?a)(2x?a)由于a?0 f?(x)??2x?a??xx所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,??)．
（Ⅱ）由题意得f(1)?a?1?e?1即a?e．由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]单调递增，要使
e?1?f(x)?e2
对x?[1,e]恒成立，只要{f(1)?a?1?e?1解得a?e
f(e)?a2?e2?ae?e2x?1?；(2)证明见解析. 25．(1)M?xx??1或 【解析】 【分析】
（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明ab?1?a?b，再两边平
22方，因式分解转化为证明a?1b?1?0，最后根据条件a?1,b?1确定
??2??2??a2?1??b2?1??0成立.
【详解】
（1）∵f?x??2x?1?1，∴x?1?2x?1?1?0. 当x??1时，不等式可化为?x?1??2x?1??1?0， 解得x??1，∴x??1； 当?1?x??当x??1,不等式可化为x?1??2x?1??1?0，解得x??1， 无解； 21时，不等式可化为x?1??2x?1??1?0，解得x?1，∴x?1. 2
【典型题】高中三年级数学下期末模拟试题附答案(5)
