圆锥曲线-利用向量转化几何条件一、数量积公式与韦达定理结合
欢欢老师的数学课堂
1.平面上动点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=?2的距离小1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A,B，与直线l交于点M，求|MA|·|MB|的最小值．
二、角条件转化为向量（直角、锐角、钝角）
x2y2
1.椭圆的方程为+=1，设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
43且与直线x=4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在求出点M的坐标，若不存在说明理由。
1
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x2
2.已知F1,F2分别是椭圆+y2=1的左右焦点。
4
??→??→5
（1）若P是第一象限内该椭圆上一点，PF1·PF2=?,求点P的坐标；
4
（2）设过定点M(2,0)直线l于椭圆交于不同的两点A,B，且∠AOB为锐角，求直线l斜率的取值范围。
3.已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)直线l平行于OM，且与椭圆交与A!B两个不同点；（1）求椭圆的方程
（2）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；（3）求证直线MA,MB与x轴围城的三角形总是等腰三角形。
2
圆锥曲线-利用向量转化几何条件三、证明三点共线转化为向量
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?→→1.（利用?a=λb,转化为比值关系）已知曲线C:(5?m)x2+(m?2)y2=8(m∈R)（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M.N，直线y=1与直线BM交于点G。求证：A,G,N三点共线。
x2y2
2.已知椭圆C:+=1与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4
84与曲线C交于不同的两点M,N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A,G,N三点共线.
3
圆锥曲线-利用向量转化几何条件
四、同一直线上不同线段比的问题转化为向量
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y2
1.已知x?=1(x>1)设直线y=?2x+m与y轴交于点P，与C相交于点Q,R，
3
|PR|
且|PQ|<|PR|，求的取值范围。
|PQ|2
√32.已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=，椭圆E的右顶点与上
3
√
顶点之间的距离为5.(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过定点P(?3,4)且斜率为k的直线交椭圆E于不同的两点M,N，在线段MN取异于M,N的点H，满足的方程.
|PM||MH|
=，证明：点H恒在一条直线上，并求出这条直线|PN||HN|4
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x2y2x2y2
3.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)，双曲线2?2=1(a>0,b>0)的两条渐近
abab线l1,l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使得l⊥l2，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B。
（1）当l1,l2夹角为60?，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求
|FA|
的最大值。|AP|5
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