( 经典 ) 高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
分析
一、函数的概念与表示
1 、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映 射
集合 A，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 A→ B 的映射 f:(x,y) → (x 2+y2,xy) ，求象 (5 ，2)
的原象 .
3. 已知集合 A 到集合 B＝｛0，1，2，3｝的映射 f:x →
x 1
1
，则集合 A 中的元素最多有几个 ?写出元素
最多时的集合 A.
2、函数。构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中， 相同的是
A、 f ( x) lg x , g( x) 2 lg x
2
B 、 f ( x) lg
x1
（
）
, g (x) lg( x 1) lg( x 1)
x 2
x 1
C、 f (u)
1 u , g( v)
1 u
1 v D 、f （x）=x， f ( x) 1 v
2、 M { x | 0 x 2}, N { y | 0 y 3} 给出下列四个图形，其中能表示从集合
N的函数关系的有 A、 0 个 B 、 1 个C 、 2 个D 、 3个
M到集合
（ ）
y
y
2 1
O
y
y 2 1
O
3 2 1
O
2 1
O
1 2 x 1 2 x
1 2 x
1 2 x
二、函数的解析式与定义域
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
待定系数法： 在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例 1
设 f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4x 3 ，求 f (x)
配凑法：已知复合函数 f [ g (x)] 的表达式，求 f (x) 的解析式， f [ g( x)] 的表达式容易配成 时，常用配凑法。但要注意所求函数 例 2 已知 f (x
g ( x) 的运算形式
f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是
g( x) 的值域。
1) x 2 x
1 ( x 0) ，求 f (x) 的解析式 x2
三、换元法： 已知复合函数 f [ g(x)] 的表达式时，还可以用换元法求 注意所换元的定义域的变化。
f ( x) 的解析式。与配凑法一样，要
例 3 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x
1)
四、代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 y x 2 x与 y g( x) 的图象关于点 ( 2,3) 对称，求 g(x) 的解析式
1
五、构造方程组法： 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过 解方程组求得函数解析式。 例 5 设
f ( x满足 f ( x 2 f (
1) x
, 求 f ( x)
, 试求 f ( x)和g (x) 的解析例 6 设 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数，又 f (x)
g( x)
1 式 x 1
六、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例 7 已知： f (0)
1，对于任意实数 x、y，等式 f ( x y) f ( x) y(2x y 1) 恒成立，求 f (x)
七、递推法： 若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例 8 设 f (x) 是 N 上的函数，满足 f (1) 1，对任意的自然数 a, b 都有 f ( a)
f (b) f (a b) ab ，求
f (x)
1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零； （ 4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
1；
6. （ 05 江苏卷）函数 y log 0.5 (4 x2 3x) 的定义域为
2 求函数定义域的两个难点问题
（ 1） 已知 f (x)的定义域是 [-2,5],
求 f(2x+3) 的定义域。
（2） 已知 f (2 x－1)的定义域是 [-1,3], 求 f( x ) 的定义域
例 2 设 f ( x)
2x x2lg ，则 f ( ) f ( ) 的定义域为 __________
2 x
2
x
变式练习： f (2 x)
4 x2 ，求 f ( x ) 的定义域。
三、函数的值域
1 求函数值域的方法
①直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x) 的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 x ∈ R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（ x 有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1．（直接法） y
x 2
2． f ( x) 1
2 x 3
5. y
4
2 24 2x
x2 3 ．（换元法） y
x
2x 1
4. （
法） y
3x x 2 x
x 2
2
1
1
6. ( 分离常数法 ) ① y
x x 1
② y
( 2 x 3x
2x 1
1
4) 7. ( 单调性 ) y x
3 (x 2x
[ 1,3]) 8. ① y
1 x 1
x
，②
1
2
y x 1 x 1
9 ．( 图象法 ) y 4)
3 2x x2 ( 1 x 2) 10．( 对勾函
数) y
2x
8 x
(x
11. ( 几何意义 ) y
x 2 x 1
四．函数的奇偶性
1．定义 :2. 性质：
①y=f(x) 是偶函数
y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 , y=f(x) 是奇函数 y=f(x) 的图象关于原点对
称, ②若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，则 f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[ 两函数的定义域 D1 ，D2，D1∩D2 要关于原点对 称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x) 与 f(-x) 的关系
1 已知函数 f (x) 是定义在 (
x ( 0,
) 时， f ( x)
,
) 上的偶函数 . 当 x
(
, 0 ) 时， f ( x)
4
x x ，则当
.
2 已知定义域为 R 的函数 f (x)
2
x
b
是奇函数。（Ⅰ）求 a,b 的值；（Ⅱ）若对任意的
t R ，不等式 f (t 2 2t ) f (2t 2
2x 1 a
k) 0 恒成立，求 k 的取值范围；
3 已知 f ( x) 在（－ 1，1）上有定义，且满足 x, y ( 1,1)有 f ( x) f ( y) 证明： f ( x) 在（－ 1，1）上为奇函数； 4 若奇函数 f (x)( x
五、函数的单调性
f ( xy
),
1 xy
R) 满足 f (2)
1， f ( x 2)
f (x)
f (2) ，则 f (5)
_______
1、函数单调性的定义： 2 设 y f g
x
是定义在 M上的函数，若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反，则 y f g x
在 M上是减函数；若 f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则 y
2 例 函数 f (x) 对任意的 m, n
f ( x) 1 ，
f g x 在 M上是增函数。 f (m)
R ，都有 f (m n)
f (n) 1 ，并且当 x
0 时，
⑴求证： f ( x) 在 R 上是增函数； 3 函数 y
⑵若 f (3)
4 ，解不等式 f (a 2
a 5)
2
log 0.1 (6 x 2x2 ) 的单调增区间是 ________
4( 高考真题 ) 已知 f ( x) （A） (0,1)
(3a 1)x 4a, x 1
是 (
loga x, x 1
,
) 上的减函数，那么 a 的取值范围是
（B） (0, )
3
1
（ C） [ , ) （D） [ ,1)
111
7 3
7
一：函数单调性的证明 1. 取值 2 ，作差
3 ，定号 4 ，结论
3
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