圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第12章 随机变量及其分布
12.1 考点归纳
一、随机变量及其概率分布 1．随机变量
X(?)是定义在样本空间S的实单值函数，即对于样本空间S中每一个可能结果
?,X(?)有唯一实数与其对应，则称X(?)为一个随机变量．
2．随机变量的两种类型 （1）离散型随机变量
当随机变量ξ的所有可能取值是有限个或可列个时，称ξ为离散型随机变量． 注：可列个不是任意的无穷多个，而是能够与自然数建立一一对应关系． （2）连续型随机变量
当随机变量ξ的取值充满某个区间时，称ξ为连续型随机变量． 3．离散型随机变量及概率分布
设随机变量ξ的所有可能取值为xk(k=1,2,3,…)，称P(?=xk)=pk为随机变量ξ的概率分布或分布率． 概率分布具有以下性质： （1）pk?0； （2）
?pk=1+?k=1．
通过这两点性质可以判断给定的是否为概率分布，这也是判断概率分布的两条标准；另
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 外还可以通过这两点来求出其中含有的参数．
4．连续型随机变量及其密度函数
对于连续型随机变量ξ，若存在非负可积函数?(x)(???x?+?)，使对于任意
a,b(a?b)，有P(a???b)=??(x)dx，则称ξ为连续型随机变量，称?(x)为ξ的概
ab率密度或密度函数．
密度函数有如下性质： （1）密度函数?(x)?0； （2）密度函数?(x)满足
?+????(x)dx=1；
baP(a???b)=??(x)dx，（3）对于任意a,b(a?b)，即连续型随机变量ξ落在(a,b)内的概率是直线x=a，x=b，x轴以及曲线y=?(x)所围成曲边梯形的面积；
（4）若ξ是连续型随机变量，则对任意实数a，有P(?=a)=0； （5）在?(x)的连续点处，有?(x)=F'(x)．
说明：在性质（1）中?(x)?0，而不是0??(x)?1；通过性质（1）、（2）可以判断一个函数是否为密度函数；已知密度函数，通过性质（3）可以求一个随机事件发生的概率；性质（5）说明了密度函数与分布函数之间的关系．
5．随机变量的分布函数
设ξ是随机变量，则称函数F(x)=P(??x),(???x?+?)为ξ的分布函数． 分布函数有如下性质：
（1）0?F(x)?1，对于一切的x?(??,+?)成立； （2）F(x)为单调非减函数；
（3）F(??)=limF(x)=0，F(+?)=limF(x)=1；
x→??x→+?F(x)=F(a)，即分布函数是一个右连续函数； （4）lim+x→a 2 / 12
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 （5）P(a???b)=F(b)?F(a)． 6．离散型随机变量的分布函数
若离散型随机变量ξ的概率分布为P(?=xk)=pk,(k=1,2,)，则
ξ的分布函数为
F(x)=?pk．
xk?x注：离散型随机变量的分布函数F(x)是一个分段函数． 7．连续型随机变量的分布函数
若连续型随机变量ξ的密度函数为?(x)，则ξ的分布函数为F(x)=??(t)dt．
??x注：连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，若已知密度函数?(x)，通过上式可以求出分布函数；反之，若已知分布函数F(x)，对其求导数就可以求出密度函数?(x)即
F'(x)=?(x)．
8．分布函数与密度函数的关系
连续型随机变量ξ的分布函数F(x)与密度函数?(x)有以下关系： （1）F(x)=??(t)dt；
??x（2）在密度函数?(x)的连续点处，?(x)=F'(x)；
（3）分布函数F(x)可以完整地描述随机变量．对任意实数a?b：有
P(a???b)=F(b)?F(a)=??(x)dx
ab
二、常见随机变量的分布 1．常见离散型随机变量的分布
（1）0?1分布：在一次试验中，事件A发生的概率为P(A)=p,(0?p?1)，随机变
?1,A发生?量为A发生的次数，即?=?，则ξ服从0－1分布，其概率分布为
0，A不发生? 3 / 12
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其中，p+q=1．
（2）二项分布：在n次重复独立试验中，每一次事件A发生的概率均为p(0?p?1)，则事件A发生的次数?（为离散型随机变量）服从二项分布，其分布律为
kkP(?=k)=Cnp(1?p)n?k(k=0,1,2,,n)，简记为?~B(n,p)．若随机变量
n?1，?2，，?3独立且都服从于0?1分布，则?=??i服从二项分布?~B(n,p)．
i=1（3）泊松分布：设离散型随机变量ξ的可能值为0，1，2，…，且其分布律为
P(?=k)=?ke??k！(k=0,1,2,)??0
则称随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，简记为?~P(?)．
二项分布的泊松近似：当?~B(n,p)且n很大，P很小时，有下面的近似计算：
kkP(?=k)=CnP(1?p)n?k?(np)e?npk！(k=0,1,2,,n)
即对于服从二项分布的随机变量ξ，当n很大，P很小时（一般np?4），近似服从参数为np的泊松分布．
（4）几何分布：在重复独立试验中，每一次事件A发生的概率均为p?(0?p?1)，则事件A第一次发生所需要的试验次数ξ（为离散型随机变量）服从几何分布，其分布律为
P(?=k)=(1?p)k?1.p(k=1,2,)
（5）超几何分布：设N个产品中有M个次品，从中任取n个产品，则取出的n个产
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 品中所含品数ξ服从超几何分布，其分布律为
kn?kCMCN?MP(?=k)=k=0,1,2,(nCNmin(M,n))
2．常见连续型随机变量的分布
?1,a?x?b??x=（1）均匀分布：设随机变量ξ的概率密度为()?b?a，称ξ在区间
?0,其他??a,b?上服从均匀分布，记为?~U?a,b?，其分布函数为
0,x?a??x?aF(x)=?,a?x?b
?b?a?1,x?b???e??x,x?o（2）指数分布的密度函数为?(x)=?．
?0,x?0注：电子元件的寿命等服从指数分布．
(x??),???x?+?1e?（3）正态分布的密度函数为?(x)=，其中，22?2????0,?????+?均为常数，简记为?~N(??2)，当?=0,?=1时，上述正态分布
1?x2e,???x?+?． 就变成标准正态分布，即?~N(0,1)，其密度函数为?(x)=2?正态分布密度函数的性质如下：
①正态分布的密度函数y=?(x)是关于直线x=?对称的钟形曲线； ②当?~N(0,1)时，其分布函数为
22x?x21?(x)=edt,???x?+? ?2???由于正态分布的密度函数的原函数不是初等函数，只能用数值积分法求出?(x)的近似值，列成标准正态分布函数表；
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-随机变量及其分布(圣才出品
