任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式

（第课时）

神经网络 准确记忆！ ????角的概念的扩充???三角函数的概念?弧度制??任意角三角函数定义????平方关系式??任意角的三角函数?同角三角函数的基本关系式?商数关系式??倒数关系式???k?360???与?的函数关系????180???与?的函数关系??诱导公式?360???以及??与?的函数关系???3????以及??与?的函数关系?2?2?

重点难点 好好把握！

重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 考纲要求 注意紧扣！ 1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。

命题预测 仅供参考！ 任意角三角函数的意义，三角函数值的符号； 考点热点 一定掌握！ 1．角的定义

⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。

⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。

2．弧度制

⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。

注意：sin1表示1弧度角的正弦，sin2表示2弧度角的正弦，它们与sin1?、sin2?不是一回事。

⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

⑶ 设一个角的弧度数为?，则 ??l （l为这角所对的弧长，r为半径）。 r⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。

⑸ 1??度 弧度 ?180弧度，1弧度?(30o 180?)?。

60o 90o 180o 270o 360o 0o 0 45o ? 6? 4? 3? 2? 3? 22? ⑹ 弧长、扇形面积公式 设扇形的弧长为l，扇形面积为S，圆心角大小为?弧度，半径为r， 则 l?r? ，S?

3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角

设?表示所有终边与角?终边相同的角（始边也相同），则 ??k?360??? （也可记为。 ??2k??? k?Z）

11lr?r2? 。 22⑵ 区域角

介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 k?360??60????k?360??30?（也可记为

2k???6???2k???3 k?Z）。

⑶ 象限角

以角的顶点为原点，以其始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。

例．已知x在第二象限，问

x在哪一象限？ 2解：∵ 2k???2?x?2k??? ，∴ k???4?x??k?? ， 22当k为偶数时，

xx在第一象限；当k为奇数时，在第三象限。 22点评：第一二象限角的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记住这一结论，可提高解题速度。

例．?ABC中，已知cosA?83，sinB?,(A、B是锐角,)求C角。 175分析：A、B是锐角,故C角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过sinC去求C角是无法确定C角是锐角还是钝角的。所以应该求cosC。

180??(A?B)]??cos(A?B)??解：cosC?cos[显然，C角在第一象限，约为81?12? 。

8453????0.1529 ， 175175点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。

4．三角函数的定义及符号 ⑴三角函数定义

设角?终边上一点P的坐标为（x，y）P与原点的距离为r（r?0），那么下面的六个

比值：、、、、、 分别叫做角?的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分别用符号表示为：

yxyxrrrrxyxysin??cos??y1y，tan??，sec??，

xrcos?x1x，cot??，csc??。

yrsin?⑵ 各三角函数在各象限的符号如下图：

sin?,csc? cos?,sec? tan?,cot?

符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。 注意：①由 sin???1?cos②去掉cos22 ? 求sin?时，应该由?所在的象限来确定sin?的符号。

?的根号时，如果cos??0，应写为 -cos?。

⑶ 终边相同的同一三角函数的值相等。

即 f(2k???)?f(?) （k?J，f(x)为三角函数）。 ⑷ 三角函数线（以第一象限角为例）

正弦线 余弦线 正切线 余切线 例．确定 cos15??cos16? 的符号。

解：画出单位圆，用线段把 cos15?和cos16?表示出来， 图中线段 OA?cos15?，OB?cos16?， 显然，cos15??cos16?， ∴ cos15??cos16??0 。

5．同角三角函数的关系

⑴ 倒数关系：sin??csc??1 ，cos??sec??1 ，tan??cot??1 。 ⑵ 商数关系：tan??⑶ 平方关系：sin2sin?cos? ，cot?? ， cos?sin???cos2??1 ，1?tan2??sec2? ，1?cot2??csc2? 。

6．三角函数的诱导公式

以180o或360o作为基准，加减一个角?，这样的角的三角函数可以化为?的同名函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。

例如：sin(180???)??sin?。

以90o或270o作为基准，加减一个角?，这样的角的三角函数可以化为?的余函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。

例如：sin(90???)?cos?。

诱导公式的记忆口诀：横同纵余，符号看象限。（“横”指以横轴作为基准，“纵” 指以纵轴作为基准。）

利用诱导公式，可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数。

如果有必要（例如在做证明题时），可以利用sin?与csc? ，cos?与sec? ，tg?与ctg?互为余函数的关系，进一步把任意角的三角函数化为不大于45o角的三角函数。