点评： 考查一次函数的应用；根据所给点画出的相关图形判断出相应的函数是解决本题的突破点． 20．（2018?济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC是⊙O的切线．
考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理。
分析： （1）根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以得
到OD∥BC，CD=BC；
（2）连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等证．
解答：
（1）猜想：OD∥BC，CD=BC．
证明：∵OD⊥AC， ∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，OD=BC
（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E． ∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中， ∵OA=OC，OP=OP， ∴△OAP≌△OCP， ∴∠OCP=∠OAP ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线．
点评： 本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切
线的判定定理转化成证明垂直的问题．
21．（2018?济宁）如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是 O（0，0） ，旋转角是 90 度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
（3）设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
考点： 作图-旋转变换；勾股定理的证明。 专题： 作图题。
分析： （1）由图形可知，对应点的连线CC1、AA1的垂直平分线过点O，根据旋转变换的性质，点O即为旋转中
心，再根据网格结构，观察可得旋转角为90°；
（2）利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用面积，根据正方形CC1C2C3的面积等于正方形AA1A2B的面积加上△ABC的面积的4倍，列式计算即可得证．
解答： 解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；…2分
（2）画出的图形如图所示；…6分
（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形． ∵S正方形CC1C2C3=S正方形AA1A2B+4S△ABC， ∴（a+b）=c+4×ab， 即a+2ab+b=c+2ab， 222∴a+b=c．
2
2
22
2
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，勾股定
理的证明，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．
22．（2018?济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．
（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；
（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；
（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值．
考点： 列表法与树状图法；平面镶嵌（密铺）。 专题： 图表型。
分析： （1）列出图表即可得到所有的可能情况；
（2）根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角形与正六边形，然后根据概率公式列式计算即可得解；
（3）对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据p、q都是整数解答．
解答： 解：（1）所有出现的结果共有如下12种：…3分 第一次/第二次 A B
B A AB BA C CA CB D DA DB
C D AC AD BC BD CD DC =；…6分
所以P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）=
（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时， 则有60p+90q=360，即2p+3q=12． 因为p、q是正整数， 所以p=3，q=2，…7分
当正三角形和六边形构成平面镶嵌时， 则有60p+120q=360，即p+2q=6． 因为p、q是正整数，
所以p=4，q=1或p=2，q=2．
点评： 本题考查了列表法或树状图法求概率，以及平面镶嵌的知识，概率=所求情况数与总情况数之比，平面镶嵌
的条件：各个顶点处内角和恰好为360°．
23．（2018?济宁）如图，抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式；
2
（2）当动点P运动到何处时，BP=BD?BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．
2
考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题；转化思想。
分析： （1）该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可．
（2）首先设出点P的坐标，由PD∥AC得到△BPD∽△BAC，通过比例线段可表示出BD的长；BC的长易
2
得，根据题干给出的条件BP=BD?BC即可求出点P的坐标．
（3）由于PD∥AC，根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比，可表示出△BPD的面积；以BP为底，OC为高，易表示出△BPC的面积，△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点P的坐标．
解答：
解：（1）由题意，得，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=
﹣x﹣4；
（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP=BD?BC， 令x=0时，则y=﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）． ∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC， ∴∵BC=
AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2． ∴BD=
2
2
．
，
==．
∵BP=BD?BC， ∴（x+2）=
2
，
解得x1=，x2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，0），即当点P运动到（，0）时，BP=BD?BC；
（3）∵△BPD∽△BAC， ∴
，
2
∴×
S△BPC=×（x+2）×4﹣∵
，
∴当x=1时，S△BPC有最大值为3．
即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．
2019年山东省济宁市中考数学试卷及答案解析（精析版）
