高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方
程课后课时精练新人教A版选修21
A级：基础巩固练
一、选择题
x2y2
1．已知点A(－3,0)，B(0,2)在椭圆2＋2＝1上，则椭圆的标准方程为( )
mnA.＋＝1 B.＋＝1 3294C.＋y＝1 D.＋＝1 354答案 B
9
??m＝1，
解析 由题意得?4
??n＝1，
22
x2y2x2
x2y2x2y2
2
解得m＝9，n＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
94
22
x2y2
2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．射线 D．圆 答案 A
解析 根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线，所以|MP|＝|PF|，所以|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又因为|MO|>|FO|，所以根据椭圆的定义可判断出点P的轨迹是以F，O两点为焦点的椭圆．
3．方程 ?x－2?＋y＋?x＋2?＋y＝10化简的结果是( ) A.C.
＋＝1 2516＋＝1 254
2
2
2
2
x2x2
y2
B.D.
＋＝1 2521＋＝1 2516
x2y2
y2x2
y2
答案 B
解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝2，a＝5.所以b＝a－c＝21，故化简结果为＋＝1.
2521
4．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
2593
A．2 B．4 C．6 D.
2答案 B
解析 设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，即
259|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所1
以|ON|＝|MF2|＝4.
2
5．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
259A．(5,0)或(－5,0) 33??533??5
B.?，?或?，－?
2??22??2C．(0,3)或(0，－3) D.?
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2
x2y2
?533??533?
，?或?－，? ?22??22?
?|PF1|＋|PF2|?2＝?10?2＝25，
当且仅当|PF1|??2?2????
答案 C
解析 记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤?＝|PF2|时，等号成立．
∴P应在椭圆短轴的端点，∴P(0,3)或(0，－3)．
x2y2y2x2
6．我们把由半椭圆2＋2＝1(x≥0)与半椭圆2＋2＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其
abbc中a＝b＋c，a>b>c>0)．如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
2
2
2
A.
7
，1 B.3，1 C．5,3 D．5,4 2
答案 A
解析 由题意知，a－b＝?
2
2
?3?2322?1?2122
?＝4，b－c＝?2?＝4，∴a－c＝1.
???2?
7722222
又a＝b＋c，∴b＝1，b＝1.∴a＝，a＝.
42二、填空题
7．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|
259＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案 8 解析 如图，
x2y2
由椭圆的定义知，|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，|F1B|＋|F2B|＝2a＝10， ∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋
25
x2
y2
sinA＋sinC＝1上．则＝________. 9sinB5
答案 4
解析 由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆
259
x2y2
的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
sinA＋sinC|BC|＋|BA|5
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
sinB|AC|4
9．(2024·上海金山中学高二期中)已知椭圆＋＝1的左、右顶点分别为A，B，P是椭
54cos?α－β?
圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则＝________.
cos?α＋β?
x2y2
1答案
9
4
＝2＝2＝－，
x0－55x0－5x0＋5x0－5
·
解析 设P(x0，y0)，则kAP·kBP＝
y0y0y20
?x0?4?1－??5?
2
4cos?α－β?cosαcosβ＋sinαsinβ1＋tanαtanβ所以tanαtanβ＝－，故＝＝＝
5cos?α＋β?cosαcosβ－sinαsinβ1－tanαtanβ4
1－51＝. 491＋5
三、解答题
x2y2
10．如图，已知点P(3,4)是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若
abPF1·PF2＝0.
→
→
(1)求椭圆的方程； (2)求△PF1F2的面积． →→
解 (1)∵PF1·PF2＝0，
1
∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝|F1F2|＝c.
2又|OP|＝3＋4＝5，∴c＝5.
2
2
x2y2
∴椭圆方程为2＋2＝1.
aa－25
916
又P(3,4)在椭圆上，∴2＋2＝1，
aa－25∴a＝45或a＝5. 又a>c，∴a＝5舍去． 故所求椭圆方程为＋＝1.
4520
(2)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝65，① 又|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，②
2
2
2
2
2
2
x2y2
由①－②得2|PF1|·|PF2|＝80， 11
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20.
22
B级：能力提升练
1．已知P是椭圆＋y＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
4
2
x2
2
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积； (2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解 (1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－3，0)，F2(3，0)．① 在△F1PF2中，由余弦定理，得
|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|cos60°.② 4
由①②得|PF1||PF2|＝.
3
13
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝. 23
→→
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得PF1·PF2<0，即(－3－x，－y)(3－x，－
2
2
2
y)<0.
322626
又y＝1－，所以x<2，解得－ 2 x2 ?2626? 所以点P横坐标的范围是?－，?. 3??3 x2y2 2．设F1，F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点． ab?3?(1)若椭圆C上的点A?1，?到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐?2? 标； (2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程． 解 (1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课后课时精练新人教A版选修21
