导体棒切割磁感线问题分析

导体棒切割磁感线问题分析

上海师范大学附属中学 李树祥

上海市高中物理学科教学基本要求中的学习水平要求分为ABCD四个等级，其中最高要求D级（综合，能以某一知识内容为重点，综合其他相关内容，分析、解决新情境下的简单物理问题）只有一个，就是导体棒切割磁感线时产生的感应电动势。因此实行等级考后这三年中，每年最后的两道综合题中都有一道是导体棒切割磁感线的题目。那么，导体棒切割磁感线主要考查哪些问题呢？

一、电路问题：由于导体棒切割磁感线产生感应电动势形成电源，所以就出现了电路问题。此类问题的解题步骤是：（1）确定电源：切割磁感线产生感应电动势的那部分导体就是电源；利用E＝BLV（B、L、V两两垂直时）求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向；（2）分析电路结构：内电路是切割磁感线的导体，此导体棒的电阻就是内阻，两端的电压就是电源的路端电压（电源外压）；外电路是除电源之外的由电阻等电学元件组成的电路。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处；在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。（3）画出等效电路图；（4）应用闭合电路欧姆定律和部分电路欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解。

例1、如图1所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10Ω的电阻．一阻值R＝10Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是( ) A．导体棒ab中电流的流向为由b到a B．cd两端的电压为1V

C．de两端的电压为1V D．fe两端的电压为1V

解析：导体棒ab为电源，由右手定则可知ab中电流方向为a→b，A错误；ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，

图1 cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de和cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝＝

E×R2RBlv2

＝1V，B、D正确，C错误。答案选BD

例2、如图2，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中．一接入电路电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦．在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )

A．PQ中电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大

C．PQ上拉力的功率先减小后增大 D．线框消耗的电功率先减小后增大

解析：设PQ左侧电路的电阻为Rx，则右侧电路的电阻为3R-Rx，所以外电路的总电阻为R′＝

，

图2

当Rx=3R-Rx时外电路电阻最大，故外电路电阻先增大后减小，所以路端电压先增大后减小，B错误；根据闭合电路的欧姆定律可得PQ中的电流：I＝

先减小后增大，故A错误；

由于导体棒做匀速运动，拉力等于安培力，即F＝BIL，拉力的功率P＝BILv，先减小后增大，

所以C正确；外电路的总电阻R′＝最大为，小于电源内阻R，又外电阻先增

大后减小，而外电阻越接近内阻时电源输出功率越大，所以外电路消耗的功率先增大后减小，故D错误。答案选C

二、力与运动问题：由于导体中的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起。解决此类问题的步骤为：(1)电路分析：导体棒为电源，感应电动势就是电源的电动势，导体棒的电阻相当于电源的内阻，感应电流I?BLV；(2)R+r受力分析：导体棒受到安培力及其他力，根据牛顿第二定律列动力学方程：F合?ma；(3)过程分析：由于安培力是变力，导体棒做变加速或变减速运动，当加速度为零时，达到稳定状态，最后做匀速直线运动，根据共点力平衡条件列平衡方程：F合＝0。另外，电磁感应现象的实质是不同形式能量的转化过程，因此，由功能观点切入，分清楚电磁感应过程中能量转化关系，往往也是我们解决电磁感应问题的有效途径．

例3、如图3，匀强磁场的磁感应强度为B，方向与水平方向垂直，边长为L的正方形导线框位于水平面内。t=0时，线框从磁场左边缘由静止开始向右做匀加速运动，t=T时线框刚要完全进入磁场，此时线框中感应电流强度为I0。求：

? ? ? （1）线框做匀加速运动的加速度大小a； B ? ? ? （2）线框的电阻R； L ? ? ? （3）线框进入磁场过程中受到的安培力随时间变化的关系式FA(t)。

12L解析：（1）由运动学公式：L?aT2，可得：a?2

2T2L（2）感应电动势E?BLV，由运动学公式V?aT?。由闭

T? ? ?

图3 EBLv2BL2E合电路的欧姆定律，感应电流的大小为I?可得：R?? ?RII0I0TBLVB2L2VL=（3）由安培力公式得FA?BIL=B，由运动学公式知V=at RR将（1）（2）中求得的a、R表达式带入上式，可得FA(t)=BI0Lt T例4、如图4所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ电阻不计，其间距为L，两导

轨所构成平面与水平面成θ角。两根用长为d的细线连接的金属杆ab、cd分别垂直导轨放置，沿斜面向上的外力F作用在杆ab上，使两杆静止。已知两金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，两金属杆的电阻都为R，并且和导轨始终保持良好接触，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为

M B。某时刻将细线烧断，保持杆ab静止不动。

（1）分析并说明cd在整个运动过程中速度、加速度的变化

a 情况；并求出其达到的最大速度vm； F （2）当cd杆速度v =

P 1vm时，求作用在ab杆上的外力F； 2c d θ 图4 b （3）若将细绳烧断时记为t=0，从此时刻起使磁场随时间变θ 化，使abcd回路中无感应电流产生，求磁感应强度BN Q 随时间t变化关系（写出B与t的关系式）。

解析：（1）cd杆沿斜面下滑过程中受到重力2mg，垂直于导轨的弹力N以及沿导轨向上的安培力F。当杆下滑速度为v时，回路中的感应电动势E=BLv，流过cd杆的

B2L2v电流I=BLv/2R。因此安培力F=BIL=，由牛顿第二定律得

2RB2L2v2mgsin?-?2ma。 2Rcd杆静止释放后，沿导轨做加速运动，由上式可知，当速度v增大，加速度a减小。故做加速度逐渐减小的加速运动。当安培力与其重力沿斜面的分力相等时，cd杆下滑达到最大速度vm，故最后以vm的速度做匀速运动。

B2L2vm4mgRsin?即2mgsin??，因此vm?

2RB2L21BLvmBLv1m2Cd杆速度v=vm时，回路中感应电流为：I? ?22R4Rab杆保持静止，有平衡条件可知：F = mgsinθ+BIL

B2L2vm?2mgsin? 因此 F?mgsin??4R（2）abcd回路中无感应电流产生，cd杆只受重力和弹力，沿斜面做匀加速下滑，加速度a=gsinθ，经过时间t下滑距离为x?121at?gsin?t2 22abcd回路中无感应电流产生，即回路中磁通量没有变化，所以?0??t 即BLd=BtL（d+x），得：B?Bd2Bd? 2(d?x)2d?gsin?t三、图像问题：由于电磁感应中经常涉及一些物理量量随时间或位移变化的情况，所以就出现图像问题。解决图象问题的一般步骤：(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是I－t图象，或者是E－t图象、F－s图象等；(2)分析电磁感应的具体过程；(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系；(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式；(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率及其变化、两轴的截距、图线与坐标轴所围图形的面积等代表的物理意义；(5)画图象或判断图象。

例5、如图5，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”字型导轨．空间存在垂直于纸面的均匀磁场．用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i与时间t的关系图线，可能正确的是( )

图5

解析:先写出金属棒MN匀速向右切割磁感线产生的感应电动势及整个回路电阻的表达式，再根据欧姆定律求出回路中的感应电流。

金属棒MN匀速向右切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv，设∠bac＝2θ，金属棒单

L1????

???位长度的电阻为r，则整个回路的电阻为R＝r??L＋2sin θ×2?＝r?1＋sin θ?L，再根据欧EBLvBvsin θ姆定律可得回路中的电流为：i＝R＝?1?＝r1＋sin θ＝定值，故A正确．

?r??1＋sin θ?L例6、如图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l=0.20 m，电阻R=1.0

Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B=0.5 Ｔ的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下.现在一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图所示.求杆的质量m和加速度a。

解析：导体杆在轨道上做初速度为零的加速直线运动，用v表示瞬时速度，t表示时间，则杆切割磁感线产生的感应电动势为：E?Blv?Blat，

闭合回路中的感应电流为：I?E， R由安培力公式和牛顿第二定律得：F?IlB?ma，

B2l2at。 得：F?ma?R在图像上取两点：（0，1）（28，4）代入解方程组得：

图6

2a?10m/s,m?0.1kg．