∴a+a＜0，a(a+1)＜0，
因为a+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．
3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A． 4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，
1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．
5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，∴m=1992，选C．
6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．
2
32
所以a+b＞b+c，成立，选B． 7．由方程组
以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数． 由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B． 8．由x-y=2 ①
平方得x-2xy+y=4 ② 又已知x+y=4 ③
所以x，y中至少有一个为0，但x+y=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有 x
1992
2
2
2
2
22
+y
1992
=0
1992
+(±2)
1992
=2
1992
，选C．
9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得
由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．
三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C． 二、填空题
提示：
与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于 666-662=(666+662)(666-662)=1328×4=5312． 3．由于x+y=1000，且xy-xy=-496，因此要把
(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)分组、凑项表示为含x+y及xy-xy的形式，以便代入求值，为此有
(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)=x+y+2xy-2xy=(x+y)-2(xy-xy)=1000-2(-496)=1992．
4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a
1992
+b
1993
=(-1)
1992
+(1)
1993
=1+1=2．
5．设这堆核桃共x个．依题意
我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即
目标是求m的最小正整数值．
可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……
m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．
由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，
即9≤a＜12．
可被第三个整除，应有b|a+c．
∴b≥2，但b|2，只能是b=2．
于是c=1，a=3．因此a3
+b3
+c3
=33
+23
+13
=27+8+1=36． 8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以 a2
+b2
+c2
-ab-bc-ca
9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4
个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y．
要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86．
所以p取最大整数值应为28．
事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立． 所以p的最大值是28．
10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元． 则依题意列得关系式如下：
③×2-④式得
x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000． 所以购买每种教具各一件共需1000元． 三、解答题
1．解①（逻辑推理解）
我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但
历年希望杯初一竞赛试题精选及答案
