线性代数教案 第一章 行列式

性质１ 行列式D与它的转置行列式D的值相等．

证：行列式D中的元素aij(i， j=1， 2， …，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是说它的行标是j， 列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开，得：

T

DT?j1j2?jn?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

这正是行列式D按行自然序排列的展开式．所以D=DT．

注：行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然．

性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号．

a11?ai1证：设行列式D??as1?an1a12?ai2?as2?an2?a1n???????ain(i行)，ri?rsD1??asn(s行)?anna11?as1?ai1?an1a12?a1n???as2?asn(i行) ???ai2?ain(s行)???an2?ann显然，乘积a1j1?aiji?asjs?anjn在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，根据§3 定理１，对于行列式D，这一项的符号由：(?1)决定；而对行列式D1，这一项的符号由：(?1)N(1?i?s?n)?N(j1?ji?js?jn)

N(1?s?i?n)?N(j1?ji?js?jn) 决定．而排列1…i…

s…n与排列1…s…i…n的奇偶性相反，所以：

(?1)N(1?i?s?n)?N(j1?ji?js?jn)= –(?1)N(1?s?i?n)?N(j1?ji?js?jn)

即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D= –D1．

推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质２有：D= –D， 所以D=0．

性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即

a11?kai1?an1左端＝

a12??an2????a1n??anna11??an1a12?ai1??a1n???ain ??kai1?kain?kai1an2?ann证：由行列式的定义有：

j1j2?jn?(?1)N(j1j2?jn)a1j1?(kaiji)?anjn＝kj1j2?jn?(?1)N(j1j2?jn)a1j1?aiji?anjn＝

右端．

此性质也可表述为：用数k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零． 证：由性质３和性质２的推论即可得到．

性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即

a11?bi1?ci1?an1a12?bi2?ci2?an2?a1na11????bin?cin?bi1????annan1a12?bi2?an2?a1na11????bin?ci1????annan1a12?ci2?an2?a1n???cin ???ann证：左端＝

＝

j1j2?jnj1j2?jn?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?(biji?ciji)?anjn

?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?biji?anjn?a11?＝bi1j1j2?jn?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?ciji?anjn

a12?bi2?a1n??a11??an1a12?ci2?a1n???cin＝右端．

?bin?ci1?an1???an2?ann???an2?ann性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即

a11?ai1D??as1?an1a11?ai1?kai1?as1?an1a12?ai2?as2??a1n???ain???asn?? i行×k加 到第s行

an2?anna12?ai2?????a1n?ain?

kai2?as2?kain?asn???an2?ann证：由性质４

a11?ai1右端=?kai1?an1a12?ai2?kai2?an2????a1na11a12?ai2?as2?an2?a1n??????a11a12?ai2?as2?an2?a1n???????ain?=左端 asn?ann??ainai1?+??kainas1????annan1??ainai1?=k?０+?asnas1??annan1作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．

例１ 计算行列式

46D?587230009?5003?3071045000

Dr1?r563?571429?30300540000(?1)270r1?r5805013?576029?34c1?c5(?1)30000003003110?5?5215407??1?2?3?4?5!??120 85?13132?4?1?3.

例11 (E03)计算D?解 Dc1?c2?110?5103?12?53?4213213?11?1?32?1

r2?r1r4?5r11?03213?141?2?1182?6?172?1 ?1015

0?80160200 r2?r3

0?84?6016?2713?12180 r3?4r2

r4?8r200?10r4?502r340000?1＝40. ?1052

3111例2 计算行列式 D?1311

11311113解：

1111r2?r11163111311r3?r102Dc1?c2?c3?c4c1?66661311131????0061131113r4?r1006111

ababbbb???bbabb1100?6?23?482002注：仿照上述方法可得到更一般的结果:

??????[a?(n?1)b](a?b)n?1.

0例3 计算行列式 D??1?121?102

?12?10211??0?12?1211002?1?(?2)??1?100130?1122?1?32?4

0解：D??1?12?12102??0120?101?12?1?12?1010?2000?a31.

0?1?10224?21?1??00001?100?a1a2010?a2a310?1?12?24?(?1)?22a10?1?100??1?(?1)?(?2)?(?2)?4

例13 (E05) 计算

001解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使D4中的零元素增多.

D4 c2?c1

a10010a2020?a2a3100?a31

c3?c2

a10010a20200a3300?a31c4?c3?