第一章 行列式
本章说明与要求:
行列式的理论是从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：
(1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法；
(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．
。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。
。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．
设有二元线性方程组 ?
(1)
?a11x1?a12x1?b1
?a21x1?a22x2?b2
用加减消元法知，当a11a22 – a12a21≠0时，有：x1?
b1a22?a12b2ab?b1a21， x2?112
a11a22?a12a21a11a22?a12a21(2)
这是一般二元线性方程组的公式解．但公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号
a11a12a21a22?a11a22?a12a21为二阶行列式．
它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
据定义，易知(2) 中的两个分子可分别写成：b1a22?a12b2?b1b2a12a22，
a11b2?b1a21?a11a21b1b2，
记D?a11a21a12a22，D1?b1b2a12a22，D2?a11a21b1b2，则当D≠0时，方程组(1) 的解
(2)可以表示成：
b1a12ba22Dx1?1?2a11a12Da21a22，
a11b1ab2Dx2?2?21a11a12Da21a22，
(3)
象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的． x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．
?2x?4x2?1例1 用二阶行列式解线性方程组 ?1
x?3x?22?1解：这时
21D?24131?2?3?4?1?2?0，D1?432?1?3?4?2??5，
D2?1?2?2?1?1?3 ， 2因此，方程组的解是 x1?D1??5，x2?D2?3，
D2D2?a11x1?a12x2?a13x3?b1?对于三元一次线性方程组 ?a21x1?a22x2?a23x3?b2
?ax?ax?ax?b3223333?311 (4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a33 (5)
为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．
例2
2?4213321?2?3?5?1?1?2?(?4)?3?2?2?3?2?1?(?4)?5?2?3?1??10 5令
a11D?a21a31a12a22a32a13a23a33b1，
a12a22a32a13a23a33，
a11a31b1b3a13a23a33，
D1?b2b3D2?a21b2a11D3?a21a31a12a22a32b1b2． b3DD1D，x2?2，x3?3 DDD当 D≠0时，(4)的解可简单地表示成： x1?
(6)
它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
?2x1? x2 ?x3 ?0?例3 解线性方程组 ?3x1?2x2?5x3?1
? x ?3x?2x?423?102?11解：D?32?5?28， D1?113?24?1231201?5?13，D2?31?5?47，
?214?22?10D3?31231?21． 4DD21347D113，x2?2?，x3?3??． ?D284D28D28所以，x1?a例4 已知?bb0a0?0，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)． 011ab0解：?ba0?a2?b2，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时
101行列式等于零．
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．
思考题： 当a、b为何值时，行列式 D?aa2bb2?0．
§1.2 排列
在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1 由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个n级排列．
例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．
数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列． 定义2 在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(is 例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7． 容易看出， 自然序排列的逆序数为0． 定义3 若排列i1i2…in 的逆序数N(i1i2…in )是奇数，则称此排列为奇排列，而是偶数的排列称为偶排列． 例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n是偶排列． 定义4 在一个n级排列i1…is…it…in中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)． 如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412． 一般地，有以下定理： 定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变． 定理2 在所有的n级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为n!个． 2定理3 任一n级排列i1i2…in都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性． 定理1证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为： a1a2…al i j b1b2…bmc1c2…cn 将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为： a1a2…al j i b1 b2…bmc1c2…cn 显然对数a1，a2，…al，b1，b2，…，bm和c1c2…cn来说，并不改变它们的逆序数．但当i 再讨论一般情况，设排列为： a1a2…al i b1b2…bmjc1c2…cn 将i与j作一次对换，则排列变为： a1a2…al j b1b2…bmi c1 c2…cn 这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，…，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列： a1a2…alb1b2…bmi j c1…cn 然后将数j与它前面的数i，bm…，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同． 定理2 在所有的n级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为n!个． 2证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个．对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以p≤q；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有q≤p，所以q = p，即奇排列与偶排列的个数相等． 又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!，q?p?n!． 2定理3 任一n级排列i1i2…in都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性． 证明：对排列的级数用数学归纳法证之． 对于2级排列，结论显然成立． 假设对n–1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立． 若in=n，则根据归纳假设i1i2…in–1是n–1级排列，可经过一系列对换变成12…(n–1)，于是这一系列对换就把i1i2…in变成12…n．若in≠n，则先施行in与n的对换，使之变成i1'i2'…'i'n–1n，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n也可经过一系列对换变成i1i2…in，因此结论成立． 因为12…n是偶排列，由定理1可知，当i1i2…in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2…in具有相同的奇偶性． 思考题：1．决定i、j的值，使 (1) 1245i6j97为奇排列； (2) 3972i15j4为偶排列． 2．排列n (n–1)(n–2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？ §1.3 n阶行列式 本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为 a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21 a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a33 其中元素aij的第一个下标i表示该元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标． 我们可以从中发现以下规律： (1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列； (3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号． 作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义．
线性代数教案 第一章 行列式
