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高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
第2章无限期模型与世代交叠模型
2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数??=??(??,????),
Y?F?K，AL?，或者采用紧凑形式??=??????(??)。假设??′(·)>??,??′′(·)<0。假设所
有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本??????+????，同时厂商受到生产函数??=??????(??)的约束。这是一个典型的最优化问题。
min??????+???? s.t.??=??????(??)
构造拉格朗日函数：
??(??,????,??)=??????+????+??[?????????(??)]
求一阶导数：
????
=?????[??????′(???????)(1?????)]=0 ????????
=?????[??(???????)? ??????′(???????)(???(????)2)]=0 ??????得到：
??=??[??????′(???????)(1?????)]=????′(??)
??=??[??(???????)? ??????′(???????)(???(????)2)]=??[??(??)?????′(??)]
????′(??)= ????(??)?????′(??)上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，
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这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：
??
??
??
???(??) ∑????=∑????????(??)=????(??)∑????=????
??=1
??=1
??=1
?为N个厂商总的雇佣人数，??单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，?的劳动人数，则它也会生k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有??
???(??)的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。 产??=????
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。令????和????分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：????????+????????=??
（a）已知????和????和W，则此人效用最大化的????和????是多少？ （b）两期消费之间的替代弹性为
?[(?????????)?(?????????)][??(?????????)???(?????????)]，或???????(?????????)???????(?????????)。证明，若效用函数为（2.43）式，是则????与????之间的替代弹性为?????。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
求解约束条件：
??2=?????2???1??1???2
将方程（3）代入（1）中，可得：
??=
1???
??1
????????=
1?????1
1???
+1+??
1???1??2
1???
（1） （2）
??.??.??1??1+??2??2=??
（3）
1???
+1+??
1[?????2???1??1???2]1???
1???
（4）
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对??1求一阶条件可得：
???
?????????1=??1+
1???(??2???1???2)=0
1+??（5）
解得：
??1=(1+??)1???(??2???1)1?????2
将方程（5）代入（3），则有：
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??2=?????2?(1+??)1???(??2???1)1?????2??1???2
解得：
??2=1+(1+??)1???(??2
???
2
?????
(1???)???1)
（6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
??1=
(1+??)1???(??2???1)1???(?????2)
1+(1+??)1???(??2???1)(1???)???（7）
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
??1???2=(1+??)1???(??2???1)1???
对方程（8）两边取对数可得：
????(??1???2)=(1???)????(1+??)+(1???)????(??2???1)
则消费的跨期替代弹性为：
??(??1???2)??2???1??????(??1???2)1?== ??(??2???1)??1???2??????(??2???1)??因此，??越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻????，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻????发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻????前后消费之间的关系。）
（b）假设事先知道，在某一时刻????，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻????发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻????前后消费之间的关系。)
答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△??内，从(??0???)到(??0+??)。
考虑家庭在(??0???)时期减少每单位有效劳动的消费为△??。然后他在(??0+??)投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本??′(??前)△??，在(??0+??)会有一收益??[??(??)??????]△??△??，财富的回报率为??(??)，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为(1?2)??′(??后)??[??(??)??????]△??△??。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满
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（8）
（9）
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足下列条件：
??′(??前)△??=
在△??≠0时，有下式：
1′
??(??前)=??(??后)
2′
1′
??(??后)??[??(??)??????]△??△?? 2因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
(??)。考虑家庭在（2.6）的2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数??(??)为????
约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、??(??)以及效用函数各参数的函数。
答：
∞??=∫??=0?????????(??(??))
∫??=0?????(??)??(??)
??(??)??
∞??(??)??
????
??(??)??
2.1
????
2.6
????≤
??(0)??
+∫??=0?????(??)??(??)
∞本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
令??=
??(0)??
????????=∫??=0?????????????(??)
??.??.∫??=0?????(??)??(??)
∞∞??(??)??
∞??(??)??
????
??(??)??
（1） ????（2）
????=
??
??(0)??
+∫??=0?????(??)??(??)??(??)
∞+∫??=0?????(??)??(??)??(??)
??(??)
????
建立拉格朗日方程：
∞??=∫??
??=0
?????
∞??(??)??(??)(??)???
??????(??)????+??[???∫????(??)????]
??????=0
求一阶条件：
??????(??)??(??)=?????????(??)?1????????(??)=0 ????(??)????抵消
??(??)??
项得：
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可以推出：
??(??)=??????????1????(??)
将其代入预算约束方程，得：
∫??=0?????(??)[??????????1????(??)]
∞??(??)??
?????????(??)?1=???????(??)
（3）
（4）
????=??
（5）
将??(??)=????????(0)代入上式，得：
???1
??(0)??
∫??=0???(?????)??????=??
??
∞（6）
只要?????>0，则积分项收敛，为1?(?????)，则：
将方程（7）代入（4）：
因此，初始消费为：
??
???1=??(0)???(?????)
（7）
??(??)=????(??)?????[??(0)???(?????)]
??
（8）
??(0)=??(0)???(?????)
??
（9）
个人的初始财富为??(0)???，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。(?????)为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率??而言，??越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不变，令W表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知r、W和效用函数中的各参数，求C的效用最大化路径。
??=∫??=0?????????(??(??))
??(??(??))=
1???
∞??(??)??
????
2.1 2.2
??(??)1???
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
????????=∫??=0?????????(??(??))??.??.∫??=0?????????(??)
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∞??(??)??
∞??(??)??
????
（1） （2）
????=??
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