一、选择题
1．设m，n是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ） A．过m且与n平行的平面有且只有一个 B．过m且与n垂直的平面有且只有一个
C．m与n所成的角的范围是?0,??
D．过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个
2．球面上有A,B,C,D四个点，若AB,AC,AD两两垂直，且AB?AC?AD?4，则该球的表面积为（ ） A．
80? 3B．32? C．42? D．48?
3．正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是（ ）. A．93cm3
B．54cm3
C．27cm3
D．183cm3
4．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( ) A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 D．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
5．已知四边形ABCD为矩形，AB?2AD?4，E为AB的中点，将ADE沿DE折起，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1?DEBC，M为A1C的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）
①BM//平面A1DE；
②三棱锥M?DEC的体积最大值为③BM?5；
④一定存在某个位置，使DE?A1C； A．①②
B．①②③
C．①③
D．①②③④
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（ ）
22； 3
A．[2,3]
?5?,2? B．?2???325?,? C．?42???5?D．?1,?
2??7．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（ ） A．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
8．直三棱柱ABC?A1B1C1的6个顶点在球O的球面上.若AB?3，AC?4.AB?AC，
AA1?12，则球O的表面积为（ ）
169? B．169? C．288? 49．?，?是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题；
A．
①如果m?n，m??，n//?，那么???. ②如果m??，n//?，那么m?n. ③如果?//?，m??，那么m//?.
D．676?
④如果m//n，?//?，那么m与?所成的角和n与?所成的角相等. 其中正确的命题的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF与CN是异面直线； ②BM与
AN平行； ③AF与BM成60角； ④BN与DE平行. 以上四个命题中，正确命题的
序号是( )
A．①②③ C．③④
B．②④ D．②③④
、n是平面?及?之外的两条不同直线，给出四个论11．?、?是两个不同的平面，m断：
①m?n；②???；③n??；④m??.
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．已知三棱锥S?ABC的体积为4，且AC?4，SA2?BC2?24，?ACB?30?，则三棱锥S?ABC的表面积为（ ） A．103 B．123 C．76或123 D．96或103 13．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为（ ） A．
755? 18
B．
625? 16
C．36? D．34?
14．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（ ）
A．SG⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面
二、解答题
15．如图，已知三棱锥A?BCD中，点M在BD上，?BAD??BDC??2，
BM?MD?DC，且ACD为正三角形.
（1）证明：CM?AD；
（2）求直线CM与平面ACD所成角的正弦值.
16．如图，在三棱锥V-ABC中，VC?底面ABC，AC?BC，D是棱AB的中点，且
AC?BC?VC.
（1）证明：平面VAB?平面VCD；
（2）若AC?22，且棱AB上有一点E，使得线VD与平面VCE所成角的正弦值为
15，试确定点E的位置，并求三棱锥C-VDE的体积. 1517．如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AF//DE，AF?平面
ABCD，?BAD??.
（1）求证：BF//平面CDE； （2）若??60?，AF?AD?1DE，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值. 218．如图，在长方形ABCD中，AB?4，AD?2，点E是DC的中点.将ADE沿AE折起，使平面ADE?平面ABCE，连结DB、DC、EB.
（1）求证：AD?平面BDE；
（2）点M是线段DA的中点，求三棱锥D?MEC的体积.
19．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC?BC，
AC?BC?CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：AC?C1F； （Ⅱ）求证：BE∥平面AC11F；
（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG?平面AC11F？说明理由． 20．如图，AB是圆O的直径，CA垂直圆O所在的平面，D是圆周上一点.
（1）求证：平面ADC?平面CDB； （2）若AC?1，AD?1，BD?AD，求二面角A?BC?D的余弦值. 221．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，
?ADE?90，AF//DE，DE?DA?2AF?2.
（1）求证：AC?平面BDE；
（2）求证：AC//平面BEF；
（3）若AC与BD相交于点O，求四面体BOEF的体积.
22．如图1，矩形ABCD，AB?1,BC?2,点E为AD的中点，将△ABE沿直线BE折起至平面PBE?平面BCDE（如图2），点M在线段PD上，PB//平面CEM.
（1）求证：MP?2DM； （2）求二面角B?PE?C的大小；
（3）若在棱PB,PE分别取中点F,G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由. 23．如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PC?1，AB?BC，?APC?60?，
?ABC?90?，AC?PB．
（1）证明：AC?PB； （2）求三棱锥A?PBC的体积．
24．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．
（1）求证：EF//平面AA1B1B；
（2）若AA1＝3，AB?23，求EF与平面ABC所成的角．
25．如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PB?PA，PB?PA，
?DAB??ABC?90，AB?4，BC?3，CD?5，M是PA的中点.
（1）求证：BM//平面PCD； （2）求三棱锥B?CDM的体积.
26．如图甲，边长为2的正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将?DAE及?DCF折起，使A、C重合于G点，构成如图乙所示的几何体．
（1）求证：GD?EF；
（2）若EF∥平面GMN，求三棱锥G?EFD的体积VG?EFD．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
在A中，过m上一点作n的平行线，只能作一条l，l与m是相交关系，故确定一平面与n平行；
在B中，只有当m与n垂直时才能； 在C中，两异面直线所成的角的范围是?0,?????； 2?在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在． 【详解】
在A中，过m上一点P作n的平行直线l，定唯一的平面α，
l?α，n?α，故n//?．故A正确．
在B中，设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故B不正确．
在C中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是?0,正确．
在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D不正确． 故选：A． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
m?l?P，由公理三的推论可得m与l确
?????，故C不2?2．D
解析：D 【分析】
分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可. 详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球， 设球的半径为R，由题意可得：?2R??42?42?42,
据此可得：R2?12，外接球的表面积为：S?4?R2?4??12?48?. 本题选择D选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
23．B
解析：B 【分析】
由题意知正三棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，可得底面正三角形的边长为6cm，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可． 【详解】
∵正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则正三棱柱的高为23cm， 底面正三角形的内切圆的半径为3cm，
设底面正三角形的边长为acm,则∴正三棱柱的底面面积为
31a??3，解得a?6cm， 2313?6?6??93cm2， 22故此正三棱柱的体积V＝93?23?54cm3． 故选：B． 【点睛】
本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.
4．D
解析：D 【分析】
可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项． 【详解】
如图，平面ABCD平面D1C1BA?AB，BB1?平面ABCD，但平面D1C1BA内无直线
与BB1平行，故A错． 又设平面?【点睛】
本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．
平面??l，则l??，因m??，故m?l，故B、C错，
综上，选D．
5．B
解析：B 【分析】
①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥M?DEC的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性. 【详解】
①，设F是AD的中点，折叠过程中F1是A1D的中点，连接F1M,EF1， 由于M是A1C的中点，所以F1M是三角形A1CD的中位线，
所以F1M//CD,F1M?11CD.由于E是AB的中点，所以BE//CD,BE?CD. 22所以F1M//BE,F1M?BE，所以四边形BEF1M是平行四边形， 所以BM//EF1，由于BM?平面A1DE，EF1?平面A1DE， 所以BM//平面A1DE，所以①正确. ②，由于M是A1C的中点，所以VM?DEC?在折叠过程中，三角形DEC的面积为定值
1VA1?DEC. 21?4?2?4， 2当平面A1DC?平面ABCD时，A1距离平面ABCD的距离最大.
?DE. 过A作AO?DE，交DE于O，连接A1O，则AO1当平面A1DC?平面ABCD时，由于平面A1DC所以A1O?平面ABCD.DE?则
平面ABCD?DE，
22?22?22，
11AE?AD2?2AE?AD?DE?AO?AO???2， 22DE221342， 3则AO?2.所以三棱锥A1?DEC体积的最大值为?4?2?1所以三棱锥M?DEC体积的最大值为③，由①知BM?EF1?EF?14222.所以②正确. ??233AE2?AF2?4?1?5，所以③正确.
④，由于DE?CE?22,CD?4,DE2?CE2?CD2，
?C， 所以DE?CE.若DE?A1C，CE?AC1则DE?平面A1CE，则DE?A1E，
根据折叠前后图象的对应关系可知?DEA??DEA1?与DE?A1E矛盾，所以④错误. 综上所述，正确的为①②③. 故选：B
?4，
【点睛】
本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.
6．C
解析：C 【分析】
分别取BB1,B1C1的中点N,M,可得平面A1MN//平面AEF，从而点P的轨迹为线段
MN，然后计算出线段A1P的范围.
【详解】
分别取BB1,B1C1的中点N,M,
则A1M//AE,A1M?平面AEF，AE?平面AEF，则A1M//平面AEF.
EF//NM,MN?平面AEF，EF?平面AEF，则MN//平面AEF
又MN?A1M?M,所以平面A1MN//平面AEF 又平面A1MN?面BCC1B1?MN 所以点P的轨迹为线段MN
当P为线段MN的端点M（或N）时，A1P最长，此时
5?1? A1P?A1M?A1B??BB1??2?2?2232?1?当P为线段MN的中点时，A1P最短，此时A1P?A1N??MN??
4?2?22?325?,所以AP???， 42??故选：C．
【点睛】
本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.
7．B
解析：B
【分析】
根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断． 【详解】
若l∥α，l∥β，则α∥β或?,?相交，A错；
若l∥α，由线面平行的性质得，知?内存在直线b使得l//b（过l作平面与?相交，交线即是平行线），又l⊥β，∴b??，∴α⊥β，B正确；
若α⊥β，l⊥α，则不可能有l⊥β，否则由l⊥α，l⊥β，得?//?，矛盾，C错； 若α⊥β，l∥α，则l与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D错． 故选：B． 【点睛】
本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．
8．B
解析：B 【分析】
由于直三棱柱ABC?A1B1C1的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱
ABC?A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径
后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积. 【详解】
解：将直三棱柱补形为长方体ABEC?A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC?A1B1E1C1的外接球.所以体对角线BC1的长为球O的直径.因此球O的外接圆直径为
22R?32?42?122?13，故球O的表面积4?R?169?.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.
9．C
解析：C 【分析】
对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断； 对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断； 对③，运用面面平行的性质定理，即可判断； 对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④． 【详解】
对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，
不妨设AA?为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为?，ABC?D?所在的平面为
?，显然这些直线和平面满足题目条件，但???不成立；
命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面?相交于直线l，则l//n，由
m??知m?l，从而m?n，结论正确；
由平面与平面平行的定义知命题如果?//?，m??，那么m//?.③正确；
由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果m//n，?//?，那么m与?所成的角和n与?所成的角相等，④正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案. 【详解】
将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示
可得：AF与CN是异面直线，故①正确； 连接AN，则BM与AN平行，故②正确；
BM//AN,??NAF是异面直线AF与BM所成的角，??NAF?60，故③正确；
NAF为等边三角形，
BN与DE是异面直线，故④错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.
11．B
解析：B 【分析】
分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假. 【详解】
若m?n，???，n??，则m与?可能平行可能相交，即①②③不能推出④； 同理①②④不能推出③；
若m?n，n??，m??，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则???，即①③④能够推出②；
若???，n??，m??，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即
m?n，
所以②③④能够推出①. 所以一共两个命题正确. 故选：B 【点睛】
此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.
12．B
解析：B 【分析】
设h为底面ABC上的高，SA?m,BC?n，根据体积可得nh?12，结合m2?n2?2mn及基本不等式等号成立条件，可得m?n?h?12，进而可得SA?面ABC，再通过计算求出每个面的面积即可. 【详解】
解：如图：h为底面ABC上的高，
设SA?m,BC?n，则VS?ABC?得nh?12，
1S311h???4?n?sin30??h?4， ABC32m?h,?mn?12，
又24?m2?n2?2mn，得mn?12， 所以mn?12，故m?n?h?12，
?SA?面ABC，
在ABC中AB2?42?12?2?4?12?在RtABS中SB?3?4，则AB?2， 222?12?4，
在RtACS中SC?12?16?28，
所以在SBC中，SC2?SB2?BC2，则SBC为直角三角形， 三棱锥S?ABC的表面积
11111S=?2?23+?4?23+?4?23+?4?23?=123. 22222故选：B. 【点睛】
本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA?面ABC，是中档题.
13．B
解析：B 【分析】
如图所示，设四棱锥P?ABCD中，球的半径为R，底面中心为O?且球心为O，可得OP⊥底面ABCD．AO??3，PO??4，在Rt?AOO?中，利用勾股定理解得R，即可得出球的表面积． 【详解】
如图所示，设球的半径为R，底面中心为O?且球心为O. ∵四棱锥P?ABCD中，AB?32， ∴AO??3. ∵PO??4，
∴Rt?AOO?中，OO??|4?R|，AO2?AO?2?OO?2， ∴R2?32?(4?R)2，解得R?25， 82?25?625?.
∴该球的表面积为4?R2?4??? ??816??
故选：B. 【点睛】
本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.
14．A
解析：A 【分析】
在正方形SG1G2G3中，有S G1⊥G1E，在折叠后其垂直关系不变，所以有SG⊥EG.同理有有SG⊥FG，再由线面垂直的判定定理证明. 【详解】
在正方形SG1G2G3中， 因为S G1⊥G1E， 所以在四面体中有SG⊥EG. 又因为S G3⊥G3F，
所以在四面体中有SG⊥FG，且GE所以 SG⊥△EFG所在平面. 故选：A 【点睛】
本题主要考查折叠问题及线面垂直的判定定理，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
GF?G，
二、解答题
15．（1）证明见解析 ；（2）【分析】
（1）取AD中点P，连结MP，CP，推导出CP?AD，MP?AD，从而AD?面
3. 3CMP，由此能证明CM?AD．
（2）过M作MH?CP于点H，则MH?面ACD，?MCP即为直线CM与面ACD所成的角，由此能求出直线CM与平面ACD所成角的正弦值． 【详解】
（1）取AD中点P，连结MP,CP， 由ACD为正三角形可得CP?AD，
又由?BAD?∴
?2,MP//AB得MP?AD，MP?CP?P，
AD?面CMP， 又∵CM?面MPC， ∴CM?AD；
（2）过M作MH?CP于点H，由（1）可知，AD?MH,CP?AD?P，
∴MH?面ACD，
∴?MCP即为直线CM与面ACD所成的角， 不妨设CD?1，则CM?2,MP?33， ,CP?2226∴cos?MCP?2? 332∴sin?MCP?3 3所以直线CM与平面ACD所成角的正弦值为3. 3
【点睛】
求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
16．（1）证明见解析；（2）点E位于线段AD的中点或线段BD的中点；【分析】
（1）易得CD?AB，再根据VC?底面ABC，得到 VC?AB，进而AB?平面VCD，再利用面面垂直的判定定理证明.
（2）过点D在平面ABC内作DF?CE于F，DF?平面VCE，则?DVF就是直线VD与
22. 3平面VCE所成的角，在RtVFD中，由sin?DVF?DF15，求得DF，然后在?VD151RtDCE中，求出DE?1，然后由三棱锥C-VDE的体积为V??SCDE?VC求解.
3【详解】
（1）因为AC?BC，D是AB的中点，
所以CD?AB. 又VC?底面ABC，AB所以AB?平面VCD. 又AB平面VAB，
所以平面VAB?平面VCD.
（2）过点D在平面ABC内作DF?CE于F， 则由题意知DF?平面VCE.，
连接VF，于是?DVF就是直线VD与平面VCE所成的角.
平面ABC，
所以VC?AB，而VC?CD?C，
在RtVFD中，
DF15. ?VD1525. 5又因为VD?23，所以DF?在RtDCE中，DE?1.
故知点E位于线段AD的中点或线段BD的中点， 三棱锥C-VDE的体积为?SCDE?VC?【点睛】
方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 17．（1）证明见解析；（2）【分析】
131122. ??2?1?22?32315. 10（1）根据四边形ABCD是菱形得到AB//CD，再由AF//DE，证得平面ABF//平面
CDE即可.
（2）当??60?，即?BAD?60?，过A作AM?CD，交CD延长线于M，连结AM，EM，易知AM?平面CDE，则?AEM为AE与平面CDE所成的角，然后由
sin?AEM?【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB//CD，又AF//DE，AB∴平面ABF//平面CDE， 又BF?平面ABF， ∴BF//平面CDE.
（2）当??60?，即?BAD?60?，如图所示：
AM求解. AEAF?A，CDDE?D，
过A作AM?CD，交CD延长线于M，连结AM，EM， 而AF?平面ABCD，又AF∥DE， ∴DE?平面ABCD，
∴DE?AM，又AM?CD，CD∴AM?平面CDE，
∴?AEM为AE与平面CDE所成的角， ∴sin?AEM?AMADcos30?33515. ??sin?AED???AEAE22510DE?D，
∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为【点睛】
15. 10方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)α，b?α，a∥b?a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与利用线面平行的判定定理(a?
已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)． 18．（1）证明见解析；（2）【分析】
2. 3（1）先利用勾股定理得出AE?BE，再利用面面垂直的性质定理得到BE?平面
ADE，进而得到AD?BE，利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用
11VD?MEC?VM?DEC?VA?DEC?VD?AEC，取AE的中点O，连接DO，用面面垂直的性
22质定理得到DO?平面ABCE，利用体积公式求解即可.
【详解】
（1）证明：∵AD?DE?2，?ADE?90?， ∴AE?BE?22，
AB?4，
∴AE2?BE2?AB2， ∴
AE?BE，
平面ABCE?AE，
又平面ADE?平面ABCE， 平面ADE∴
BE?平面ADE，
又AD?平面ADE， 所以AD?BE，
AD?DE，DE?BE?E， 所以AD?平面BDE.
又
（2）∵M是线段DA的中点，
11VA?DEC?VD?AEC， 22取AE的中点O，连接DO，
∴VD?MEC?VM?DEC?∵DA?DE∴DO?AE， 又平面DAE?平面ABCE， ∴DO?平面ABCE， 又DO?2，
SAEC1??AE?EC?sin135??2， 2122， ?2?2?33∴VD?AEC?∴VD?MEC?【点睛】 方法点睛：
2. 3证明线面垂直的常用方法： 利用线面垂直的判定定理； 利用面面垂直的性质定理； 利用面面平行的性质； 利用垂直于平面的传递性.
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．理由见解析. 【分析】
（Ⅰ）在三棱柱ABC?A1B1C1中，由侧棱垂直于底面，可得CC1?平面ABC，则
CC1?AC，再由AC?BC，结合线面垂直的判定可得AC?平面BCC1B1．从而得到AC?C1F；
（Ⅱ）取A1C1的中点H，连结EH，FH．可得EH//BF，且EH?BF．则四边形
BEHF为平行四边形，则BE//FH．再由线面平行的判定可得BE//平面AC11F；
（Ⅲ）在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．连接EG，GB1．首先证明△B1C1G?△C1CF．可得?C1CF??B1GC1?90?，则B1G?C1F．由（Ⅰ）可得
AC?平面BB1C1C，得到A1C1?平面BB1C1C．即AC11?B1G．由线面垂直的判定可得
B1G?平面AC11F．进一步得到平面B1EG?平面AC11F．
【详解】
解：（Ⅰ）在三棱柱ABC?A1B1C1中， 因为侧棱垂直于底面，
所以CC1?平面ABC． 又AC?平面ABC 所以CC1?AC．
因为AC?BC，CC1?BC?C，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1 所以AC?平面BCC1B1． 因为C1F?平面BCC1B1， 所以AC?C1F．
（Ⅱ）取A1C1中点H，连结EH，FH． 则EH//B1C1，且EH?1B1C1， 21B1C1， 2又因为BF//B1C1，且BF?所以EH//BF，且EH?BF． 所四边形BEHF为平行四边形． 所以BE//FH． 又BE?平面AC11F，FH所以BE//平面AC11F
（Ⅲ）在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点． 连接EG,GB1．在正方形BB1C1C中，
?平面AC11F，
因为F为BC中点， 所以△B1C1G≌△C1CF． 所以?C1CF??B1GC1?90?． 所以B1G?C1F．
由（Ⅰ）可得AC?平面BB1C1C， 因为AC//A1C1，
所以A1C1?平面BB1C1C． 因为B1G?平面BB1C1C，
所以AC11?B1G． 因为AC11C1F?C1，A1C1?平面AC11F，C1F?平面AC11F．
所以B1G?平面AC11F． 因为B1G?平面B1EG， 所以平面B1EG?平面AC11F． 【点睛】
本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法． 20．（1）证明见解析；（2）【分析】
10. 5（1）证明BD?AC,BD?AD后得BD?平面ADC，然后可得面面垂直； （2）连结OD，作OE?BC于E，连结DE，证得?OED为二面角A?BC?D的平面角，在三角形中可得其余弦值． 【详解】
证明：（1）∵CA?平面ADB，BD?平面ADB， ∴CA?BD，.
又D是圆周上一点，AB是圆O的直径，DA?DB， 又CA?平面CAD，DA?平面CAD，AD∴BD?平面CAD，而BD?平面ACD， ∴平面ADC?平面CDB；
（2）连结OD，作OE?BC于E，连结DE，
CA?A，
∵CA?平面ADB，CA?平面ABC， ∵平面ABC?平面ADB， ∵BD?AD，∴OD?AB， 又∵OD?平面ADB，∵平面ABC∴OD?平面ABC，
∵BC?面ABC，∴BC?OD. 又∵BC?OE，OE平面ADB?AB，
DE?E，
∴BC⊥平面ODE，∴BC?DE， ∴?OED为二面角A?BC?D的平面角. 又AC?1，AD?∴OD?1，BD?AD， 2OE330210?，OE?，DE?，所以cos?OED? DE4561210. 5所以二面角A?BC?D的余弦值为【点睛】
方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：
（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角． （2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互
补计算．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】
（1）证明DE?AC，AC?BD，AC?平面BDE即得证； （2）设ACBD?O，取BE中点G，连接FG，OG，证明AO//平面BEF，即证
2. 3AC//平面BEF；
（3）先求出四面体BDEF的体积V?【详解】 （1）证明：
平面ABCD?平面ADEF，?ADE?90?，
14，再根据VBOEF?VBDEF求解. 32?DE?平面ABCD，?DE?AC．
ABCD是正方形，?AC?BD，
因为BD,DE?平面BDE,BD?DE?D,
?AC?平面BDE. （2）证明：
设ACBD?O，取BE中点G，连接FG，OG，
OG为BDE的中位线
1?OG//DE
2AF//DE，DE?2AF，?AF//OG，
?四边形AFGO是平行四边形，
?FG//AO．
FG?平面BEF，AO??平面BEF， ?AO//平面BEF，即AC//平面BEF．
（3）平面ABCD?平面ADEF，AB?AD，
?AB?平面ADEF.因为AF//DE，?ADE?90?，DE?DA?2AF?2，
1S??ED?AD?2， 的面积为?DEFDEF214?四面体BDEF的体积V??SDEF?AB?
33又因为O是BD中点，所以VBOEF?12VBDEF? 232?VBOEF?.
3【点睛】
方法点睛：求几何体的体积的方法：方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 22．（1）证明见解析；（2）90；（3）M?平面CFG，理由见解析. 【分析】
（1）设BD?EC?O，连接MO，由线面平行的性质可得PB//MO，可得
MDODODED1???，即可证明； ，由ED//BC可得MPOBOBBC2（2）取BE中点Q，连接PQ，通过面面垂直的性质可得PQ?平面BCDE，进而可得
PQ?EC，再由EC?BE可得EC?平面PBE，即平面PBE?平面PEC，即得出结
果；
（3）延长ED到N，使ED?DN，连接CN,PN,GN，证明FG//CN，可得
F,C,N,G确定平面FCNG，判断M是△PEN的重心，可得M?平面CFG.
【详解】
（1）设BD?EC?O，连接MO，
PB//平面CEM，PB?平面PBD，平面PBD平面CEM?MO，
?PB//MO，?ED//BC，?MDOD?， MPOBODED1??， OBBC2?MD1?，即MP?2DM； MP2（2）取BE中点Q，连接PQ，
PB?PE，?PQ?BE，又平面PBE?平面BCDE，?PQ?平面BCDE，
EC?平面BCDE，?PQ?EC，
BE?EC?2，BC?2，满足BE2?EC2?BC2，?EC?BE， PQ?BE?Q，?EC?平面PBE，
EC?平面PEC，
?平面PBE?平面PEC，
?二面角B?PE?C的大小为90；
（3）延长ED到N，使ED?DN，连接CN,PN,GN，
F,G分别是PB,PE的中点，?FG//BE，
BC?2ED，?BC?EN，BC//EN， ?四边形BCNE是平行四边形，?BE//CN， ?FG//CN，则F,C,N,G确定平面FCNG， PEN中，PD是EN边中线，且PM:MD?2:1， ?M是△PEN的重心，
又GN为PE边的中线，则M在GN上， ?M?平面CFG. 【点睛】 关键点睛：
（1）本问考查线段比例关系的证明，解题的关键是由平行得出比例关系，利用等量替换求解；
（2）本问考查二面角的求解，解题的关键是证明平面PBE?平面PEC，从而得出二面角为90；
（3）本问考查平面的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线，延长ED到N，使
ED?DN，通过FG//CN得出F,C,N,G确定平面FCNG，再通过M是△PEN的重
心得出M在GN上. 23．（1）证明见解析，（2）【分析】
（1）取AC的中点O，连接PO,BO，可得PO?AC,BO?AC，再由线面垂直的判定定理可得AC?平面POB，从而可证得AC?PB；
（2）求解三角形证明PO?OB，可得PO?平面ABC，利用等体积法求得结果 【详解】
（1）证明：取AC的中点O，连接PO,BO， 因为PA?PC?1，AB?BC， 所以PO?AC,BO?AC，
因为POOB?O，所以AC?平面POB， 因为PB在平面POB内，所以AC?PB，
（2）解：在△PAC中，因为PA?PC?1，?APC?60?， 所以PO?3 243，AC?1， 2在ABC中，因为AB?BC，?ABC?90?，所以BO?在PBO中，由于PO?1， 213，BO?，AC?PB?1，
22所以PO2?BO2?PB2，所以PO?OB， 因为 PO?AC,BO所以VA?PBC?VP?ABC?AC?O，所以PO?平面ABC，
11133 ??1???322224
【点睛】
此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥A?PBC的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥A?PBC的体积，此题考查数学转化思想 24．（1）证明见解析；（2）60°．
【分析】
（1）取AB中点D，连结A1D、DF，推导出四边形DFEA1是平行四边形，从而A1D//EF，由此能证明EF//平面AA1B1B．
（2）取AC中点H，连结HF，则?EFH为EF与面ABC所成角，由此能求出EF与平面ABC所成的角． 【详解】
（1）取AB中点D，连结A1D、DF，
1在?ABC中，D、F为中点，?DF//AC， ?2又A1C1//AC，且A1E?1?DF//A1E， AC11，?2?四边形DFEA1是平行四边形，?A1D//EF，
?A1D?平面AA1B1B，EF??平面AA1B1B，
?EF//平面AA1B1B．
（2）取AC中点H，连结HF，
EH//AA1，AA1?面ABC，?EH?面ABC，
??EFH为EF与面ABC所成角，
在Rt?EHF中，FH?3，EH?AA1?3， ?tan?HFE?33?3?tan60?，
??HFE?60?，
?EF与平面ABC所成的角为60?．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 25．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】
（1）取PD中点N，证明BMNC为平行四边形，得到BM//NC，从而得到BM面PCD．
（2）对三棱锥B?CDM进行等体积转化，转化为求P?BCD的体积的一半．取AB中
//平
点O，连PO，可证PO为三棱锥P?BCD的高并求出其长度，求出△BCD的面积，得到三棱锥P?BCD的体积，即可求出三棱锥B?CDM的体积． 【详解】
证明：（1）取PD中点N，连接MN，NC, MN为△PAD的中位线，?MN//AD，且MN?1AD， 21AD，?MN//BC，且MN?BC， 2则BMNC为平行四边形，?BM//NC，
又
BC//AD，且BC?NC?平面PCD，MB??平面PCD， ?BM//平面PCD．
（2）取AB中点O，连PO，PB?PA,?PO?AB，
又又
平面PAB?平面ABCD，平面PAB?平面ABCD?AB，
PO?平面PAB，?PO?平面ABCD． ?PO为三棱锥P?BCD的高， PA?PB，AB?4，PB?PA， ?PAB为等腰直角三角形，PO?2， DABABC90，AD//BC，
SBCD11??BC?AB??3?4?6， 221?PO??6?2?2．
6M是PA的中点，?三棱锥B?CDM的体积为：
111VB?CDM?VM?BCD?VP?BCD??S223BCD
【点睛】
本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题． 26．（1）证明见解析；（2）【分析】
（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E，F两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，
平面DGH，由线面垂直的性质
1； 3知，GD?EF；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中
平面GEF，显然，三棱锥的高解决了，故有VG?EFD=VD?GEF=
【详解】
证明：取EF的中点为H,连接DH,GH，
,所以，
1 3
在在故所以
中，GE=GF，H是中点，中，DE=DF，H是中点， ,
,
平面DGH，即GD?EF．
,
（2）EF∥平面GMN知，F是BC边上的中点，故有GE?GF， 在直角三角形GEF中，GE=GF=1，故EF=又因为所以，
,
平面GEF，故此时三棱锥的高为DG，值是2，
，
1VG?EFD=VD?GEF=
3
东南大学附属中学 必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(有答案解析)
