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立体几何（向量法）—建系难
例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P?ABCD中,PA?底面ABCD,BC?CD?2,AC?4,?ACB??ACD?点,AF?PB.
(1)求PA的长; (2)求二面角B?AF?D的正弦值.
?3,F为PC的中
【答案】
解：(1)如图，联结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，→→→
故AC⊥BD.以O为坐标原点，OB，OC，AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立ππ
空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin
33＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．
z→
0，－1，?，又AF＝因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，得F?2??z→→→?0，2，z?，PB＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF·PB＝0，即6－＝0，z＝2 3(舍去－2 2??2
2
→
3)，所以|PA|＝2 3.
→→→
(2)由(1)知AD＝(－3，3，0)，AB＝(3，3，0)，AF＝(0，2，3)．设平面FAD的法
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向量为1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为2＝(x2，y2，z2)．
→→由1·AD＝0，1·AF＝0，得
?－3x1＋3y1＝0，
因此可取1＝(3，3，－2)． ?
?2y1＋3z1＝0，
→→由2·AB＝0，2·AF＝0，得
?3x2＋3y2＝0，
故可取2＝(3，－3，2)． ?
?2y2＋3z2＝0，
从而向量1，2的夹角的余弦值为 n1·n21
cos〈1，2〉＝＝.
|n1|·|n2|8
3 7
故二面角B－AF－D的正弦值为.
8
例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四
棱锥P?ABCD中,?ABC??BAD?90，BC?2AD,?PAB与?PAD都是等边三角形.
(I)证明:PB?CD; (II)求二面角A?PD?C的大小.
o
【答案】解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形． 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O. 联结OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点， 故OE⊥BD，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
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(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P， 故CD⊥平面PBD.
又PD?平面PBD，所以CD⊥PD.
取PD的中点F，PC的中点G，连FG. 则FG∥CD，FG⊥PD.
联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角． 联结AG，EG，则EG∥PB. 又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
1
设AB＝2，则AE＝2 2，EG＝PB＝1，
2故AG＝AE2＋EG2＝3，
1
在△AFG中，FG＝CD＝2，AF＝3，AG＝3.
2FG2＋AF2－AG26
所以cos∠AFG＝＝－.
2·FG·AF3因此二面角A－PD－C的大小为π－arccos
6
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解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．
→
以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
立体几何(向量法)建系难
