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立体几何(向量法)—建系难
例1 (2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如图,四棱锥P?ABCD中,PA?底面ABCD,BC?CD?2,AC?4,?ACB??ACD?点,AF?PB.
(1)求PA的长; (2)求二面角B?AF?D的正弦值.
?3,F为PC的中
【答案】
解:(1)如图,联结BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,→→→
故AC⊥BD.以O为坐标原点,OB,OC,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立ππ
空间直角坐标系O-xyz,则OC=CDcos=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3.又OD=CDsin
33=3,故A(0,-3,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0).
z→
0,-1,?,又AF=因PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,得F?2??z→→→?0,2,z?,PB=(3,3,-z),因AF⊥PB,故AF·PB=0,即6-=0,z=2 3(舍去-2 2??2
2
→
3),所以|PA|=2 3.
→→→
(2)由(1)知AD=(-3,3,0),AB=(3,3,0),AF=(0,2,3).设平面FAD的法
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向量为1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为2=(x2,y2,z2).
→→由1·AD=0,1·AF=0,得
?-3x1+3y1=0,
因此可取1=(3,3,-2). ?
?2y1+3z1=0,
→→由2·AB=0,2·AF=0,得
?3x2+3y2=0,
故可取2=(3,-3,2). ?
?2y2+3z2=0,
从而向量1,2的夹角的余弦值为 n1·n21
cos〈1,2〉==.
|n1|·|n2|8
3 7
故二面角B-AF-D的正弦值为.
8
例2(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))如图,四
棱锥P?ABCD中,?ABC??BAD?90,BC?2AD,?PAB与?PAD都是等边三角形.
(I)证明:PB?CD; (II)求二面角A?PD?C的大小.
o
【答案】解:(1)取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形. 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 联结OA,OB,OD,OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故OE⊥BD,从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
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(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P, 故CD⊥平面PBD.
又PD?平面PBD,所以CD⊥PD.
取PD的中点F,PC的中点G,连FG. 则FG∥CD,FG⊥PD.
联结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角. 联结AG,EG,则EG∥PB. 又PB⊥AE,所以EG⊥AE.
1
设AB=2,则AE=2 2,EG=PB=1,
2故AG=AE2+EG2=3,
1
在△AFG中,FG=CD=2,AF=3,AG=3.
2FG2+AF2-AG26
所以cos∠AFG==-.
2·FG·AF3因此二面角A-PD-C的大小为π-arccos
6
. 3
解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直.
→
以O为坐标原点,OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
立体几何(向量法)建系难
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