第2讲 三角函数的化简与求值
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
A级——高考保分练
1＋cos α1．若＝3，则cos α－2sin α＝________.
sin α
解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cosα322
＝1－sinα＝(3sin α－1)，解得sin α＝，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α
52
＝sin α－1＝－.
5
2
答案：－
5
2．已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝________. 解析：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ， 所以tan θ＝
15， 15
2×1－?
1515
2
2tan θ
则tan 2θ＝＝21－tanθ
?15?2
??15?
＝15. 7
答案：
15 7
3．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过π?3??1?点?，?，则cos?2θ＋?＝________. 3???22?
13
解析：由题意，得cos θ＝，sin θ＝，
22则sin 2θ＝2sin θcos θ＝
312
，cos 2θ＝2cosθ－1＝－， 22
π?ππ?所以cos?2θ＋?＝cos 2θcos －sin 2θsin 3?33?1133
＝－×－×＝－1.
2222答案：－1
4．已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝________.
解析：由题意，得2cosα＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0，解得
2
1
cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
2
1答案： 2
π?π?10??π??5．已知cos?θ＋?＝－，θ∈?0，?，则sin?2θ－?＝________. 4?2?3?10???π?10?解析：∵cos?θ＋?＝－， 4?10?∴
210
(cos θ－sin θ)＝－， 210
5
， 5
∴cos θ－sin θ＝－
ππ?π?∵θ∈?0，?，∴＜θ＜，
2?42?
14
则1－2sin θ cos θ＝，∴sin 2θ＝，
55π3
又∵＜2θ＜π，∴cos 2θ＝－. 25
π?ππ41?3?34＋33?∴sin?2θ－?＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－?－?×＝.
3?3352?5?210?4＋33
答案： 106．若角α满足
sin α1＋cos α
＝5，则＝________.
1－cos αsin α
ααα2α
2sincoscos2cos
2222sin α1＋cos α
解析：＝＝＝＝＝5.
1－cos ααααsin α2α??2sincos1－?1－2sin?sin2?222?答案：5
2510
7．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则sin β＝________.
510255
解析：因为sin α＝，α为锐角，所以cos α＝. 55ππππ
因为0<α<，0<β<，所以－<α－β<.
2222又因为sin(α－β)＝
10
>0， 10
π310
所以0<α－β<，所以cos(α－β)＝，
210
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
253105102
×－×＝. 5105102
2
2
答案：
8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若1
sin α＝，则cos(α－β)＝________.
3
解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α7??1?2?2
－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α＝－(1－2sinα)＝－?1－2×???＝－.
9??3??
7
答案：－
9
π?7π?43??9．已知cos?α－?＋sin α＝，则sin?α＋?的值是________． 6?6?5??π?43?解析：由cos?α－?＋sin α＝， 6?5?可得
3143
cos α＋sin α＋sin α＝， 225
3343即sin α＋cos α＝， 225
π?43π?4??∴3sin?α＋?＝，sin?α＋?＝，
6?6?55??7π?π?4??∴sin?α＋?＝－sin?α＋?＝－. 6?6?5??4
答案：－
5
ππ7710πb10．(2019·扬州期末)设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝
ππ21aacos－bsin77
asin＋bcos________.
πππbtan＋777a10π10π
解析：因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，ππ21bπ21acos－bsin1－tan
77a7
asin＋bcos
江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数、平面向量与解三角形第2讲三角函数的化简与求值练习
