初中数学教学中培养学生创新思维的探索
惠州市三栋中学 张惠良
随着现代信息技术的迅猛发展和知识经济的兴起，知识更新的速度日益加快，创新将决定一个国家和民族的综合实力和竞争力。正如江泽民总书记说：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”他在第三次全国教育工作会议上指出：“教育是知识创新、传播和应用的主要基地，也是培养创新精神和创新人才的重要摇篮。”可见，在数学教学中，结合教材内容，利用创新原理，渗透创新教育思想，帮助学生树立创新意识，培养创新能力，发展创新思维。这不仅是我们的客观要求，也是提高民族整体素质和培养21世纪新人才的需要。本文旨在初中数学教学中培养学生创新思维的方法略谈一点肤浅的体会。
一、引导学生大胆想象，引发创新思维
想象是记忆中的表象进行加工改造以后得到的一种形象思维。而创新想象是一种创造性的综合，它不依据现在的描述或图示，而是根据一定的目的，把经过改造的各个成份纳入新的体系而创新出新的完整形象的过程。爱因斯坦说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”可见，一切创新活动都是从创新想象开始，没有创新想象，就没有任何发明创造。因此，教学中引导学生展开思维的翅膀大胆想象，特别是创新想象，是发展学生创新思维的重要内容。对数学教学来说，自觉而有意识地追求数学材料和数学事实的形象化，就成为培养学生创新的一个努力方向。例如，求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。此题并不难。引导学生尽情地想象，把原题改为：顺次连结矩形各边中点，顺次连结菱形各边中点，顺次连结正方形各边中点，顺次连结梯形各边中点，顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得到的四边形是什么四边形？教材中有许多实例都可以通过精心设计，要求不借助图形，引导学生冲破所有的框框的局限，充分发挥学生的想象和创造力的潜能，有所创新地发现问题、提出问题、解决问题，从而有利于培养学生创新思维。
二、巧设疑问，激发创新思维
人的思维活动常常是在发现问题、分析问题、提出问题的过程中进行的。问题为思维定向成为探索活动的关键环节。爱因斯坦说：“提出一个问题比解决
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一个问题更为重要，因为解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技巧而已，而提出新的问题，新的理论，从新的角度去看旧的问题却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”因此，根据学生的实际，在教学的关键处、疑难处、隐蔽处和精妙处，精心设计一些陷阱型、求异性、激趣性、迁移性、发散性问题情景，以求激发学生兴趣，激发学生思维，培养学生的判断能力和创新能力。 例如：零指数幂的底数受到条件限制（底数不能为零），学生解题时往往只注意“底”的条件而忽略其它情况，顾此失彼，教学时巧设题为：若（X+1）
X2+3X+2
=1,
求X的值。学生的解答：由题意得：X2+3X+2=0,且X+1≠0,解得X=-2。此解答似乎无懈可击。此时，让学生把X=0代入原式验证，结果发现等式也成立。对此，学生感到迷惑不解地问，为什么X=0时，原等式成立呢？于是，可抓住时机地引导学生从下列几个方面分析等式成立的可能性：①a0=1(a≠0),②1n=1(n∈N ), ③(-1)2n =1(n∈N)，通过引导学生类比发现：当等式成立属于情况①时，解答如上，得X=-2；当等式成立属于②时，有X+1=1，即X=0；当等式成立属于情况③时，有X+1=-1，即X=-2，此时，X2+3X+2=0，则等式为(-1)0=1，综合以上情况得X=0或X=-2。又如：求函数最值问题上，学生常忽视自变量取值的制约而盲目求值。教学时巧设题：已知X1，X2是方程X2－(k-2)X+k2+3k+5,的两个实根，求X12+X22的最大值。大部分学生这样解答：由题意X1+X2=k-2，X1 X2 = k2+3k+5,所以X12+X22 =( X1+X2)2-2 X1 X2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-(k+5)2+19,当k=-5时，X12+X22 有最大值为19。此时问学生，这种解法是否存在问题？问题提出后，学生争论激烈,有的学生发表自己见解，有的人云亦云。正当学生心态处于最佳状态时，提问学生：（1）题中“X1，X2是方程的两个实根”这一条件是否用上了？（2）方程有两实根意味着什么？通过如此点拔，学生茅塞顿开，立即领悟到题目隐含着△≥0 的条件，并由此求得：-4≤k≤?4,显然可知，当k=-4时，X12+X22的最3大值为18。至此，学生领悟到欲求函数值，首先应确定自变量的取值范围。可见，教学中巧设富有内涵置陷且有启发性的问题，能起投石激浪作用，让学生入“陷”到跳出“陷阱”的过程中获得新知，开启了创新思维的闸门。
三、引导学生多向思考，扩拓创新思维空间
多向思维是指从多角度，多层次，多侧面，纵向、横向，两方面性，辨证性的思考法。此“多角度”的过程正是创新潜能诱发的过程，学生有可能想自己所
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没有想到的或在众多可能的新假设中作出评价和选择，萌生新的角度，成为自己的“独创”。 此法有利于学生的思路向各个方面发展，善于从新角度、新观点去观察，分析、认识事物，从而产生独创性的见解。教学中，利用一题多解，一题多变，一题多拓，一题多测，一法多用，多题一法等。 促使学生从中寻找一类解题规律，开阔学生视野，拓宽学生思维空间，促进学生顺、逆、侧等不同角度进行创新。例如， 解方程：X+X?2=2。出示题后，多数学生采用两边平方法，少数能用换元法求解，看来已没有其它解法了，此时，引导学生从题目的结构数据特点入手分析，联想二次根式定义和非负数性质。于是学生创新地得到独特的解法：移项得，X?2 =2-X，要使根式有意义，须X－2≥0；要使方程有解，须 2－X≥0，由
X－2≥0
2－X≥0 得X－2＝0，
故原方程的根为X=2。可见引导学生进行一题多解，有利于培养学生的创新思维。又如义教版《几何》第三册P123页练习：如图（1），经过⊙O上的点T的切线和
T m B
图（1）
C
A
T
O
A
O
E
B
G
图（2）
C
弦AB的延长线相交于点C，求证：∠ATC=∠TBC, 以此题为例进行演变和探讨。变化一，题设不变，探讨结论：①求证：△ATC∽△TBC, ②求证：TC2＝BC·AC, ③求证：BT2:AT2=BC:AC, ④求证：sin2∠TBA:sin2∠A=AC:BC。变化二，假设条件，综合运用，⑤若∠ABT=60°, BT=2, TC=7 , 求1°BC的长，2°⊙O 的直径。 ⑥若弦切角∠CTB所夹的弧为TmB, ∠BCT=30 ,CT=3+1, BC=2, 求1°BT和AB的长，2°∠A的度数，3°弓形TmB的面积。变化三，添设条件，拓引探索。⑦如图（2），若原题设不变，作∠ATB的平分线交AB于E，交⊙O于G。由这些条件，你能推出哪些正确结论？（找结论过程中所作辅助线不能出
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现在结论中）通过这样变化，由一题出发，由浅入深，由此及彼，将图形合理演化，凝集成题链，连成一串，盖一片，不但激发了学生学习兴趣，活跃了思维，而且在演化的动态性过程中开阔了学生视野，开发了智力，促进思维正迁移，其中不乏体现出思维的独创性和新颖性。
四、引导学生灵活变换，培养创新思维
创新思维的特征之一——思维的变通性。它表现为思维敏捷，随机应变，善于灵活地转换观察，分析问题的角度，使问题出奇制胜地获解，这是创新思维的灵魂。教学中，根据教材、教学内容有意识地引导学生从相反立场、角度、侧面去思考问题，强化各种数学思维策略变换的训练，促使学生当思维遇到障碍时，迅速进行转换，从而获取解决问题的方法。这样有利于防止思维僵化，拓宽思路，活化知识，所以具有很大的创新性。 教学中，启发学生探讨公式的逆应用或探讨定理的逆命题是否正确，不失为指导学生发现新问题的一个有效方法，它对于激发学生探索新知，更具有重要意义。在解题教学中，如学函数自变量的取值范围后，选题：是否存在常数a，使自变量X为任何实数时，函数y=(a?7)x2?(a?1)x?14总有意义？若存在，求出a的取值范围，若不存在请说明理由。本题的常规解法是解有关a的不等式组。但教师引导学生从反向思考，抓住存在性问题，点拔学生从根式及X的取值范围是一切实数这一角度去考察，不难发现，当x＝0，y=?1 ,显然这时常数a并不存在，而这种解法简洁且新4颖。又如，已知：二次方程(b-c)X2+(c-a)X+a-b (b≠c)有相等的实数根，求证：2b=a+c。此题采用常规证法较困难。引导学生从另一侧面进行思考，由等式结构和谐的美感，通过仔细观察，不难发现，此题存在着题设的方程系数和为零这一特点。便获得新颖的证法。 证明：∵(b-c)+ (c-a)+(a-b)=0,又∵该二次方程有相等实根，∴两根X1＝X2＝1。由韦达定理得
a?b= X1 X2=1, ∴a-b= b-c, ∴b?c2b=a+c。因此，引导学生考虑问题，不能墨守成规，拘泥于常规方法，而应该灵活转换思考角度，挣脱思维定势的来缚，敢于打破常规的禁锢，积极探索创新思路，才能更好地获取解题捷径，从而利于培养学生创新思维。
五、鼓励学生大胆猜想，发展创新思维
“猜想，是人类认识中最活跃，最积极的因素，是人类理性中最富于创造
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的部分，有了猜想，人的认识才摆脱了消极等待的奴隶状态。”牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”可见，猜想是创新思维的源泉，猜想是科学发现的重要途径，它具有很大的创新性。科学的猜想是对某个问题作各种猜想时，必须做到合理、真实和有效，必须遵循数学中的某些公理、定理、推出以及公式、法则，应根据题设条件及所求结论，运用观察、分析、试验、归纳以及类比等方法，得出一种初步的直观的结论。善于引导学生进行科学的猜想，往往能激发学生的创新思维。因此，教学时，鼓励学生大胆猜想，是发展学生创新思维的重要途径之一。如讲授“同底数幂的乘法”时，为让学生探索发现问题的规律，可以精心设计问题引导学生猜想：（1）计算103×102=？,23×22=?。 实验探索：103×102＝(10×10×10)×(10×10)= 10×10×10×10×10=105, 23×22=(2×2×2)
×(2×2)=2×2×2×2×2=25。类比猜想：a3·a2=__ , 为什么？归纳猜想：当 m,n
为正整数时，am·an=__ , 结论成立否？如此，学生凭直觉猜想发现了同底数幂的乘法规律。 又如讲授“弦切角定理”时，教师同样可以设计问题，引导学生从特殊到一般的猜想，此时，教师可利用多媒体演示，当弦切角一边通过圆心时，
C
D
O
图（3）
A B
如图（3），提问题：（1）弦切角∠CAB 的度数是多少，为什么？（2）∠CAD 所夹的弧所对的圆周角∠D是多少度？为什么？（3）此时，弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有什么关系？学生观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹的弧所对的圆周角都是直角，因而猜想得到相等的结论。然后，教师再用多媒体演示，以A为端点，旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹的弧所对的圆周角之间的关系，引导学生得出猜想：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。学生知道弦切角可由圆周角演变而来，那么引导学生进行类比猜想，便得到了上述猜想（弦切角定理）的证明方法。从而让学生在猜想过程中发现问题的本质属性而获得新知，对于例题教学与猜想，限于篇幅，在此不再列举实例。总之，教学中，引导学生进行积极猜想，可让学生在丰富的背景材料下，凭直觉猜想想出问题的结论，从而发现问题的规律，同时激发了学生创新思维的火花。
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初中数学教学中培养学生创新思维的探索
