课后限时集训10
对数与对数函数 建议用时：45分钟
一、选择题
1．函数y＝log32x－1＋1的定义域是( ) A．[1,2]
B．[1,2)
?2?C.?，＋∞? ?3?
?log32x－1＋1≥0，?C [由?
??2x－1＞0，
?2?D.?，＋∞?
?3?
??log2x－1
即?1
x＞??2，
3
1
≥log3，3
x2
解得x≥.] 3
2．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( ) A．log2x 1C．logx
2
1B.x 2D．2
x－2
A [由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)． ∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]
3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log2 0.2，b＝2，c＝0.2，则( ) A．a＜b＜c C．c＜a＜b
0.2
0.2
0.3
B．a＜c＜b D．b＜c＜a
0.3
B [∵a＝log20.2＜0，b＝2＞1，c＝0.2∈(0,1)，∴a 4．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星5E1 的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星 2E2等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A．10 10.1 B．10.1 D．10 －10.1 C．lg 10.1 A [由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45， 5E1 所以lg ＝－1.45－(－26.7)＝25.25， 2E2 E12E110.1 所以lg＝25.25×＝10.1，所以＝10.故选A.] E25E2 5．设函数f(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( ) A．f(a＋1)＞f(2) C．f(a＋1)＝f(2) B．f(a＋1)＜f(2) D．不能确定 A [由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．] 二、填空题 6．计算：lg 0.001＋lne＋2 －1＋log3 2 ＝________. 13－3 －1 [原式＝lg 10＋ln e＋2log2＝－3＋＋＝－1.] 227．函数f(x)＝loga(x－4x－5)(a＞1)的单调递增区间是________． (5，＋∞) [由函数f(x)＝loga(x－4x－5)，得x－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5.令 2 2 2 m(x)＝x2－4x－5，则m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a＞1及复合 函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)．] ??2，x≤1， 8．设函数f(x)＝? ?1－log2x，x＞1，? 1－x 则满足f(x)≤2的x的取值范围是________． [0，＋∞) [当x≤1时，由2 1－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1； 1 当x＞1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x＞1. 2综上可知x≥0.] 三、解答题 9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； ?3?(2)求f(x)在区间?0，?上的最大值． ?2? [解] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2. ??1＋x＞0，由???3－x＞0， 得－1＜x＜3， ∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 2 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， ?3?故函数f(x)在?0，?上的最大值是f(1)＝log24＝2. ?2? 10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x－1)＞－2. [解] (1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log(－x)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以x＜0时，f(x)＝log(－x)， 所以函数f(x)的解析式为 2 ?logx，x＞0，0，x＝0，?f(x)＝ ?log－x，x＜0. 2 (2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x－1)＞－2可化为f(|x－1|)＞f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以0＜|x－1|＜4，解得－5＜x＜5且x≠±1， 而x－1＝0时，f(0)＝0＞－2， 所以－5＜x＜5. 1．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( ) A．(a－1)(b－1)＜0 C．(b－1)(b－a)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0 D．(b－1)(b－a)＞0 2 2 2 D [由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1， 代入验证只有D项满足题意．] 2．已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则( ) A．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数 B．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数 C．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数 D．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数 D [函数f(x)的定义域为(－10,10)， 又∵f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 又f(x)＝lg(100－x)， 令t＝100－x，易知t在(0,10)上是减函数，结合复合函数可知，故f(x)在(0,10)上是减函数，故选D.] 2 2 x2＋1 3．关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题： |x| ①函数y＝f(x)的图像关于y轴对称； ②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数； ③函数f(x)的最小值为lg 2； ④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数． 其中是真命题的序号为________． x2＋1 ①③④ [∵函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)， |x| 即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故①正确； x2＋1x2＋1?1?当x＞0时，f(x)＝lg＝lg＝lg?x＋?， |x|x?x? 11 令t(x)＝x＋，x＞0，则t′(x)＝1－2，可知当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，t(x)单调 xx递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，t(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图像关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确， 故答案为①③④.] 4．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0，且a≠1. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明； (3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围． [解] (1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， ??x＋1＞0， 所以? ??1－x＞0， 解得－1＜x＜1. 故所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)f(x)为奇函数． 证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数． x＋1(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}上是增函数，由f(x)＞0，得＞1， 1－x解得0＜x＜1.所以x的取值范围是(0,1)． 1．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________． (0,1) [由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图像和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1,0＜c＜lg 10＝1，所以 abc的取值范围是(0,1)．] ?12?2．若函数f(x)＝loga(2x－a)在区间?，?上恒有f(x)＞0， ?23? 求实数a的取值范围． ?12??4?[解] 当0＜a＜1时，函数f(x)在区间?，?上是减函数，所以loga?－a?＞0， ?23??3? 4 即0＜－a＜1， 31 又2×－a＞0， 214 解得＜a＜，且a＜1， 331 故＜a＜1； 3 12??当a＞1时，函数f(x)在区间?，?上是增函数， ?23?所以loga(1－a)＞0， 1 即1－a＞1，且2×－a＞0， 2解得a＜0，且a＜1，此时无解． ?1?综上所述，实数a的取值范围是?，1?. ?3?
2021高考数学一轮复习课后限时集训10对数与对数函数理
