?x3(x2?x?1)?(x2?x?1) ?(x3?1)(x2?x?1)?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)
解二：原式=(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)
?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)
?(x?1)(x4?x??1)?(x?1)[(x?2x?1)?x]?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)422
2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x3?3x2?4 解一：将3x2拆成2x2?x2，则有
原式?x3?2x2?(x2?4)
?x2(x?2)?(x?2)(x?2)?(x?2)(x?x?2)?(x?1)(x?2)22
解二：将常数?4拆成?1?3，则有
原式?x3?1?(3x2?3)
?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(3x?3)?(x?1)(x?4x?4)?(x?1)(x?2)22
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：(x2?4)(x2?10x?21)?100
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?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100 ?(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100
?(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100 设y?x2?5x，则
原式?(y?14)(y?6)?100?y2?8y?16?(y?4)2 ?无论y取何值都有(y?4)2?0?(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
?原式?(A?B)3?A3?B3?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3
?3A2B?3AB2?3AB(A?B)?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例1.在?ABC中，三边a,b,c满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0 求证：a?c?2b
证明：?a2?16b2?c2?6ab?10bc?0
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?a2?6ab?9b2?c2?10bc?25b2?0即(a?3b)2?(c?5b)2?0(a?8b?c)(a?2b?c)?0 ?a?b?c?a?8b?c，即a?8b?c?0于是有a?2b?c?0即a?c?2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
11?2，则x3?3?__________ xx111 解：x3?3?(x?)(x2?1?)
xxx11?(x?)[(x?)2?2?1]xx ?2?1
例2. 已知：x??2 说明：利用x2?12?(x?)?2等式化繁为易。 2xx1题型展示
1. 若x为任意整数，求证：(7?x)(3?x)(4?x2)的值不大于100。 解：?(7?x)(3?x)(4?x)?100
??(x?7)(x?2)(x?3)(x?2)?100??(x2?5x?14)(x2?5x?6)?1002 ??[(x2?5x)?8(x2?5x)?16]??(x2?5x?4)2?0?(7?x)(3?x)(4?x2)?100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形
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成完全平方是一种常用的方法。 2.
a2?(a?1)2?(a2?a)2分解因式，并用分解结果计算62?72?422。
将
解：a2?(a?1)2?(a2?a)2
?a2?a2?2a?1?(a2?a)2 ?2(a2?a)?1?(a2?a)2?(a2?a?1)2
?62?72?422?(36?6?1)2?432?1849 说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
1. 分解因式：
（1）3x5?10x4?8x3?3x2?10x?8（2）(a?3a?3)(a?3a?1)?522
（3）x2?2xy?3y2?3x?5y?2（4）x?7x?63
2. 已知：x?y?6，xy??1，求：x3?y3的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3?x2y?xy2?y3?0，求矩形的面积。
4. 求证：n3?5n是6的倍数。（其中n为整数） 5.
已
知
：
a
、
b
、
c
是
非
零
实
数
，
且
111111a2?b2?c2?1，a(?)?b(?)?c(?)??3，求a+b+c的值。
bccaab 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2?b2?c2和4a2b2的大小。 经典三：因式分解练习题精选
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一、填空：（30分）
1、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式，则m的值等于_____。 2、x2?x?m?(x?n)2则m=____n=____ 3、2x3y2与12x6y的公因式是＿
4、若xm?yn=(x?y2)(x?y2)(x2?y4)，则m=_______，n=_________。 5、在多项式3y2?5y3?15y5中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式，则m=_______。 7、x?(_____) x?2?(x?2)(x?_____)8、已知1?x?x???x2220042?x2005?0,则x2006?________.
9、若16(a?b)?M?25是完全平方式M=________。 10、x?6x??__??(x?3)， x??___??9?(x?3)
222211、若9x?k?y是完全平方式，则k=_______。
222212、若x?4x?4的值为0，则3x?12x?5的值是________。 13、若x?ax?15?(x?1)(x?15)则a=_____。
2214、若x?y?4,x?y?6则xy?___。
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因式分解常用方法（方法最全最详细）
