课时规范练2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( ) A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 答案:A
解析:可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1,则a+b<2,显然为真.
其逆命题,即a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b<2. 2.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1 B.a>b-1 22C.a>b D.a3>b3 答案:A
解析:A选项中a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以a>b+1为a>b成立的充分不必要条件,故选A.
3.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 答案:C
解析:由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C. 4.设p:log2x<0,q:>1,则p是q的( ) A.充要条件
B.充分不必要条件 C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 答案:B
解析:由题可知p:log2x<0,解得0 q:>1,解得x<1. 所以p是q的充分不必要条件,故选B. 5.(2013福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:若a=3,则A={1,3}?B,故a=3是A?B的充分条件;而若A?B,则a不一定为3,当a=2时,也有A?B.故a=3不是A?B的必要条件.故选A. 6.“≤-2”是“a>0且b<0”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:A 解析:+2=≤0?ab<0?故选A. 二、填空题 7.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 . 答案:2 解析:先写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,逐一判断.或只写出逆命题,判断原命题和逆命题的真假即可,原命题为真,逆命题为假. 8.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是 . 答案:若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 9.设有如下三个命题: 甲:m∩l=A,m,l?α,m,l?β; 乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交; 丙:平面α与平面β相交. 当甲成立时,乙是丙的 条件. 答案:充要 解析:由题意乙?丙,丙?乙. 故当甲成立时,乙是丙的充要条件. 10.已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.现有下列命题: ①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④",p是",s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是 . 答案:①②④ 解析:由题意知 ∴s?q,①正确;p?r?s?q,∴p?q,但qp,②正确;同理判断③⑤不正确,④正确. 11.给定下列几个命题: ①“x=”是“sin x=”的充分不必要条件; ②若“p∨q”为真,则“p∧q”为真; ③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题. 其中为真命题的是 .(填上所有正确命题的序号) 答案:①③ 解析:①中,若x=,则sin x=,但sin x=时,x=+2kπ或+2kπ(k∈Z).故“x=”是“sin x=”的充分不必要条件,故①为真命题;②中,令p为假命题,q为真命题,有“p∨q”为真命题,而“p∧q”为假命题,故②为假命题;③为真命题. 三、解答题 12.已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围. 解:由≤0,得0 由4x+2x-m≤0, 得m≥4x+2x=, 因为0 所以m≥=6,即m≥6. 13.指出下列各组命题中,p是q的什么条件? (1)p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切; (2)p:|x|=x,q:x2+x≥0; (3)设l,m均为直线,α为平面,其中l?α,m?α,p:l∥α,q:l∥m. 解:(1)若a+b=2,圆心(a,b)到直线x+y=0的距离d==r,∴直线与圆相切. 反之,若直线与圆相切,则|a+b|=2, ∴a+b=±2, 故p是q的充分不必要条件. (2)若|x|=x,则x2+x=x2+|x|≥0成立. 反之,若x2+x≥0, 即x(x+1)≥0,则x≥0或x≤-1. 当x≤-1时,|x|=-x≠x, 因此,p是q的充分不必要条件. (3)∵l∥α无法得到l∥m,但l∥m,l?α,m?α?l∥α, ∴p是q的必要不充分条件. 14.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明:必要性: 若方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 则x=1满足方程ax2+bx+c=0, ∴a+b+c=0. 充分性: 若a+b+c=0,则b=-a-c, ∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0, ∴(ax-c)(x-1)=0, ∴当x=1时,ax2+bx+c=0, ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 15.设函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B.已知α:x∈A∩B,β:x满足2x+p≤0,且α是β的充分条件,求实数p的取值范围. 解:依题意,得A={x|x2-x-2>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞), B==(0,3], 所以A∩B=(2,3]. 设集合C={x|2x+p≤0}, 则x∈. 因为α是β的充分条件, 所以(A∩B)?C. 则需满足3≤-?p≤-6. 故实数p的取值范围是(-∞,-6]. 四、选做题 1.(2013浙江高考)若α∈R,则“α=0”是“sin α D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:当α=0时,sin α 2.已知下列四个命题: ①a是正数;②b是负数;③a+b是负数;④ab是非正数. 选择其中两个作为题设,一个作为结论,写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 答案:若a是正数且a+b是负数,则一定有b是负数 解析:逆否命题为真命题,即原命题为真.a是正数且a+b是负数,则一定有b是负数. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}是等比数列的充要条件是p≠0,p≠1且q=-1. 证明:先证充分性: 当p≠0,p≠1,且q=-1时,Sn=pn-1. ∴S1=p-1,即a1=p-1. 又n≥2时,an=Sn-Sn-1, ∴an=(p-1)pn-1(n≥2). 又n=1时也满足, ∴an=(p-1)·pn-1(n∈N+), ∴{an}是等比数列. 再证必要性: 当n=1时,a1=S1=p+q, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1. 由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列. 要使{an}(n∈N+)是等比数列, 则=p,即(p-1)p=p(p+q),∴q=-1, 即{an}是等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
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