第一篇 集合与不等式 专题1.04 基本不等式及其应用
【考试要求】
1.掌握基本不等式ab≤a＋b
2
(a，b≥0)；
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】
1.基本不等式：ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中a＋b
2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 2
(2)ab≤?a＋b?2??(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s2
4(简记：和定积最大).
【微点提醒】
1.ba＋a
b
≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.2
aa2＋b2
11≤ab≤＋b
≤2
(a>0，b>0). a＋2b
3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与
a＋b
2
≥ab成立的条件是相同的.( ) (2)函数y＝x＋1
x
的最小值是2.( )
2
4
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( )
sin xxy
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
yx【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； a＋b不等式≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.
2
1
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
x4
(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.
sin xxy
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
yx【教材衍化】
2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A.9 【答案】 A
x＋y
【解析】 因为x＋y＝18，所以xy≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
21
3.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋( )
xA.有最小值，且最小值为2 C.有最小值，且最小值为－2 【答案】 D
【解析】 因为x<0，所以－x>0，－x＋【真题体验】
x2－2x＋11?
4.(2024·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝，则f(x)在??2，3?上的最小值为( ) x1A. 2
【答案】 D
x2－2x＋111
【解析】 f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.
xxx1?1
，3，所以f(x)在?，3?上的最小值为0. 又1∈??2??2?
5.(2024·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为
2
B.18 C.36 D.81
B.有最大值，且最大值为2 D.有最大值，且最大值为－2
11
≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
x－x
4
B. 3
C.－1 D.0
________m，宽为________m时菜园面积最大. 【答案】 15
15 2
【解析】 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，
11x＋2y?22515
所以S＝xy＝x·(2y)≤?＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
22?2?221
6.(2024·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋b的最小值为________.
81
【答案】 4
1
【解析】 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋b≥2
811
即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋b的最小值为.
84【考点聚焦】
考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值
3
【例1－1】 (1)(2024·乐山一中月考)设0 251 (2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为______. 44x－59 【答案】 (1) (2)1 2 2x＋（3－2x）?9 【解析】 (1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2?2??＝2， 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立. 4 33390，?，∴函数y＝4x(3－2x)?0＜x＜?的最大值为. ∵∈?2??4?2?2 151(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－?5－4x＋5－4x?＋3 4??4x－5≤－211（5－4x）·＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 5－4x5－4x 1 的最大值为1. 4x－5 2 2 a－3b111 2a·b＝2·2＝，当且仅当2a＝b，8248 故f(x)＝4x－2＋ 角度2 利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2024·潍坊调研)函数y＝a1x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，11 且m，n为正数，则＋的最小值为________. mn【答案】 4 2 － 【解析】 ∵曲线y＝a1x恒过定点A，x＝1时，y＝1， ∴A(1，1).将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)， 11?11nm＋·可得m＋n＝1，∴＋＝?(m＋n)＝2＋＋≥2＋2 mn?mn?mn nm·＝4， mn － nm1 当且仅当＝且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝时，取得等号. mn2角度3 基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化 【例1－3】 (经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞) 【解析】 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，解得ab≥3，即ab≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变，求a＋b的最小值. 【答案】 见解析 a＋b?【解析】 ∵a>0，b>0，∴ab≤??2?， a＋b?2即a＋b＋3≤??2?，整理得(a＋b)－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍).故a＋b的最小值为6. 【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 1【训练1】 (1)(2024·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( ) abA.2 1B. 2 C.4 1D. 4 2 2 (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号). 又因为2a＋b＝4，∴22ab≤4?0 1111 ∴≥，故的最小值为(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立). ab2ab2 13?133x12y1312133x ＋＝＋＋≥＋＝5(当且仅当＝(2)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)??5y5x?55y5x555y5x5y 2 12y1 ，即x＝1，y＝时，等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5. 5x2考点二 基本不等式在实际问题中的应用 【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).x 2＋?升，司机的工资是每小时14元. 假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油??360?(1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】 见解析 x2?130130130?2＋【解析】 (1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100]. ?360?xxx130×182×130 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100] x3602 34013 (或y＝＋x，x∈[50，100]). x18 130×182×130130×182×130 (2)y＝＋x≥2610，当且仅当＝x， x360x360 即x＝1810时等号成立.故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2024年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运2 营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网 t＋1店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5 2 【解析】由题意知t＝－1(1 3－xtt1148＋?x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－则y＝?＋－3 2x??23－x21 ＝45.5－?16（3－x）＋3－x?≤45.5－216＝37.5， 2 ?? 2
专题1.4 基本不等式及其应用(2024年高考数学一轮复习对点提分)
