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专题七 二次函数与几何的综合
,百色中考备考攻略)
纵观近五年百色中考数学试卷，二次函数与几何的综合是每年的必考解答题型，其中2019年第26题综合考查用待定系数法求函数表达式、等腰三角形的性质、勾股定理及解直角三角形；2018年第26题综合考查二次函数的图象与表达式的确定、平行四边形的判定与性质、对称的坐标变化规律及解一元二次方程；2017年第26题综合考查菱形的性质、勾股定理逆定理、函数与方程的建模和应用；2016年第26题综合考查用待定系数法求函数表达式、正方形的性质、三角形的面积公式以及二次函数的性质；2015年第26题综合考查用待定系数法求二次函数的表达式、平行四边形的判定和性质、一次函数图象上点的坐标特征.
题型1 二次函数中与线段相关及最值问题
此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标.突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关的点横坐标也为x，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之
间线段最短”解决.,
中考重难点突破)
【例】（2019·贺州中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（－1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点.
（1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的表达式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.
【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中第（3）问用函数关系式表示出PD的长，是解题的关键.
【解答】解：（1）由B（－1，0）可得OA＝OC＝4OB＝4. ∴点A，C的坐标分别为（4，0），（0，－4）；
（2）由题意可得抛物线的表达式为y＝a（x＋1）（x－4）＝a（x2－3x－4）.又点C（0，－4）在抛物线上，则－4a＝－4，解得a＝1.
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4；
（3）直线AC过点C（0，－4），设其函数表达式为y＝kx－4，将点A（4，0）代入上式并解得k＝1. ∴直线AC的表达式为y＝x－4.
过点P作y轴的平行线交AC于点H.
∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°. ∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°.
设点P（x，x2－3x－4），0＜x＜4，则点H（x，x－4）.
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∴PD＝HP·sin∠PHD＝∵－
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（x－4－x2＋3x＋4）＝－x2＋22x＝－（x－2）2＋22. 222
2
＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为22，此时点P（2，－6）. 2
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1.如图，直线y＝x＋c与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值. 解：（1）将A（－4，0）代入y＝x＋c，得c＝4.
将A（－4，0）和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，得b＝－3. ∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4；
（2）作点C关于抛物线的对称轴的对称点C′，连接OC′，交对称轴于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小.
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∵抛物线对称轴为直线x＝－，∴CC′＝3.
2
由勾股定理，得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值为5.
2.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A（1，0），B（－3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P（m，n）是线段AD上的动点.
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，当m为何值时，PQ最长？解：（1）将（1，0），（－3，0）代入y＝ax2＋bx－3，得
解得y＝x2＋2x－3.
∴抛物线的表达式为
当x＝－2时，y＝（－2）2＋2×（－2）－3＝－3，即D（－2，－3）. 设直线AD的表达式为y＝kx＋b′.
将A（1，0），D（－2，－3）代入上式，得
解得
∴直线AD的表达式为y＝x－1；
（2）由（1）可得P（m，m－1），Q（m，m2＋2m－3），则l＝（m－1）－（m2＋2m－3）＝－m2－m＋2.
1?29?∵l＝－?m＋2?＋（－2≤m≤1），
4
19
∴当m＝－时，l最大值＝，即PQ最长.
24,百色中考专题过关)
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1.如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右
2
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侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式和A，B两点的坐标；
（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标.
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解：（1）∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，∴－＝3，解得a＝－.
22a413
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.
42
13
当y＝0时，－x2＋x＋4＝0，
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解得x1＝－2，x2＝8.
∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（8，0）；
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（2）当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，
42
∴C（0，4）.
设直线BC的表达式为y＝kx＋4（k≠0）. 将B（8，0）代入y＝kx＋4，得
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8k＋4＝0，解得k＝－.
2
1
∴直线BC的表达式为y＝－x＋4.
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m，－m2＋m＋4?，则点N的坐标为?m，－m＋4?，∴MN＝|－m2＋m＋4－设点M的坐标为?422????42
?－1m＋4?|＝?－1m2＋2m?. ?2??4?
1
－m2＋2m?＝3. 又∵MN＝3，∴??4?
11
当－m2＋2m≥0，即0≤m≤8时，－m2＋2m＝3，解得m＝2或6，此时M（2，6）或M（6，4）；
441113当－m2＋2m＜0，即m＜0或m＞8时，－m2＋2m＝－3，解得m＝4±27，此时点M的纵坐标为－m2＋
44421m
m＋4＝－m2＋2m－＋4＝?7－1.
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综上所述，点M的坐标为（2，6），（6，4），（4－27，7－1）或（4＋27，－7－1）. 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（－1，4）.
（1）求A，B两点的坐标； （2）求抛物线的表达式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B，D两点间的一个动点（点P不与B，D两点重合），PA，PB与直线DE分别交于点F，G，当点P运动时，EF＋EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1）由抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，得 A（－3，0），B（1，0）；
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