中考数学初中数学 旋转提高练习题压轴题训练含详细答案
一、旋转
1．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；
（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD= ，简要说明计算过程；
（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】（1）BD，CE的关系是相等；（2）【解析】
52034或34；（3）1，7 1717分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE； （2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到
PDCD534；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得=，进而得到PD=AECE17△BAD∽△BPE，即可得到
PBBE620?34，PD=BD+PB=34； ，进而得出PB=ABBD3417（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE?sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值． 详解：（1）BD，CE的关系是相等．
理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE； 故答案为相等．
（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：
∵∠EAC=90°， ∴CE=AC2?AE2?34，
∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE， ∴△PCD∽△ACE， ∴
PDCD?， AECE534； 17∴PD=若点B在AE上，如图2所示：
∵∠BAD=90°， ∴Rt△ABD中，BD=∴△BAD∽△BPE， ∴
AD2?AB2?34，BE=AE﹣AB=2，
∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，
PB2PBBE??，即， 334ABBD634， 34解得PB=∴PD=BD+PB=34+故答案为62034=34， 341752034或34； 1717（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大． 如图3所示，分两种情况讨论：
在Rt△PED中，PD=DE?sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小． ①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时， 在Rt△ACE中，CE=52?32=4， 在Rt△DAE中，DE=52?52?52， ∵四边形ACPB是正方形， ∴PC=AB=3， ∴PE=3+4=7，
在Rt△PDE中，PD=DE2?PE2?50?49?1， 即旋转过程中线段PD的最小值为1；
②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值， 此时，DP'=4+3=7，
即旋转过程中线段PD的最大值为7． 故答案为1，7．
点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．
2．如图1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，连接BE、CD． （1）在图1中，若AC=AB，AE=AD，现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图2，那么线段BE．CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；
（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD、CE． ①求证：△ABE∽△ACD； ②计算：BD2+CE2的值．
【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170． 【解析】 【分析】
（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题； （2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．
②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算． 【详解】
（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．
理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．
∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．
?AB?AC?在△CAD和△BAE中，∵??BAE??CAD，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE，
?AE?AD?∠ACD=∠ABE．
∵∠BFA=∠CFG，∠BFA+∠ABF=90°，∴∠CFG+∠ACD=90°，∴∠CGF=90°，∴BE⊥CD． （2）①设AE与CD于点F，BE与DC的延长线交于点G，如图3．
∵∠CABB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．
AEAD==2，∴△ABE∽△ACD； ABAC②∵△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠CDA．
∵CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴
∵∠AFD=∠EFG，∠AFD+∠CDA=90°，∴∠EFG+∠AEB=90°，∴∠DGE=90°，∴DG⊥BE，∴∠AGD=∠BGD=90°，∴CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2． ∵CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．
【点睛】
本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．
3．如图1，菱形ABCD，AB?4，?ADC?120o，连接对角线AC、BD交于点O，
?1?如图2，将VAOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的VA'BO与菱形ABCD
重合部分的面积．
?2?如图3，将VA'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E'，交BC于点F，
①求证：BE'?BF?2；
②求出四边形OE'BF的面积．
【答案】 ?1?3?2??①证明见解析②3 【解析】 【分析】
(1)先判断出△ABD是等边三角形，进而判断出△EOB是等边三角形，即可得出结论； (2)先判断出 ≌△OBF，再利用等式的性质即可得出结论； (3)借助①的结论即可得出结论．
中考数学初中数学 旋转提高练习题压轴题训练含详细答案
