一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 .以上横线上应填的内容为 ( ) A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125)
解析：本题考查了二分法的应用问题.由已知及二分法解题步骤可知x0∈(0,0.5)且第二次应计算f(0.25). 答案：A
2.(2011届·龙岩质检）为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：
x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 －0.24 －0.70 －1.00 则函数f(x)的一个零点所在的区间 ( ) A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：因为f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.24)<0，所以零点在(1.8,2.2)上．故选C. 答案：C
3. 下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( )
解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0，A、B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C. 答案：C
1?x4.(2011届·枣庄模拟）已知函数f(x)＝??3?－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0 解析：因为f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，当x→0时，f(x)→＋∞，因为f(x0)＝0， 所以f(x)＝0只有一个实根．所以当0 5.关于x的方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是 ( ) 1 211C. 22A.a>1 B.a< 解析：令f(x)=ax+a-1,因为方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有根等价于函数f(x)在区间(0,1)内有零点， 根据零点存在定理得f(0)·f(1)=(a-1)(2a-1)<0,解此不等式解得 1 6.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值，则函数g(x)?A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 解析：因为函数f(x)=x2-2ax+a在(-∞,1)上有最小值，所以a<1.所以g(x)?f(x)在区间上一定( ) xf(x)a?x??2a, xxg?(x)?1?a?0,即函数g(x)在区间上为增函数. 2x答案：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7.函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为 . 解析：本题考查导数的应用及函数的零点，f?(x)?11?1,令f?(x)??1=0得x=1. xx当x∈(0,1)时，f?(x)>0,则函数在(0,1)上为增函数；当x∈(1,+∞)时，f?(x)<0, 则函数在x∈(1,+∞)时为减函数.所以函数在x=1时取得最大值f(1)=ln 1-1+2=1, 又f(1122f(e)?4?e?0,故函数有两个零点. , )???022ee11)内，k是的整数倍，则实数k的值是 . 22答案：2 8.已知方程x3=4-x的解在区间(k,k+ 解析：令f(x)=x3+x-4，则它的导函数f?(x)=3x2+1>0,所以函数f(x)在定义域上是单调增函数.如果有零点，只能有一个.又f(1)=-2<0,f()?322737??4??0 >0,故函数f(x)必然有一个根在8283(1,)上,即k=1. 2答案：1 9.若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 . 解析：令f(x)=2ax2-x-1,由题意知f(0)·f(1)<0,所以（-1）·（2a-2)<0,所以a>1. 答案：(1,+∞) 10.(2011届·浙江温州质检) 对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，则实数a的取值范围是 . 解析：函数f(x)＝x2＋2ax＋a2无不动点，所以方程x2＋2ax＋a2＝x无实数根， 1 即方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0无实数根，所以Δ＝(2a－1)2－4a2<0.解得a>. 4 ?1?答案：4，＋∞ ?? 三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 11. 已知二次函数的对称轴为x＝－2，截x轴上的弦长为4，且过点(0，－1)，求二次函数的解析式． 解：对称轴为x＝－2，又截x轴的弦长为4， 则图象与x轴的交点为x1＝－2－2，x2＝2－2. 设二次函数为y＝a(x＋2＋2)(x－2＋2)， 又(0，－1)在图象上，则有－1＝a(2＋2)(－2＋2)． 11 所以a＝，二次函数解析式为y＝x2＋2x－1. 22 12. 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正零点．(精确到0.1) 解：因为f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0， 所以存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0. 用二分法逐次计算，列表如下： 端点(中点)坐标 1＋2＝1.5 21.5＋2x2＝＝1.75 21.5＋1.75x3＝ 2＝1.625 1.625＋1.75x4＝ 2＝1.687 5 1.687 5＋1.75x5＝ 2＝1.718 75 1.718 75＋1.75x6＝ 2＝1.734 375 x1＝端点或中点的函数值 f(1)＝－6<0， f(2)＝4>0 f(1.5)＝－2.625<0 f(1.75)＝0.234 4>0 f(1.625)＝－1.302 7<0 f(1.687 5)＝－0.561 8<0 f(1.718 75)＝－0.170 7<0 f(1.734 375)＝0.030 08>0 取区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) 最后区间 (1.687 5,1.75) 精确0.1 (1.718 75,1.75) 似值1.7，所求 (1.718 75， 点为 因为一个端点到的近是所以的零1.7. B组 一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 1.函数f(x)=lnx?1的零点的个数是 ( ) x?11与y?lnx的图象有两个交点. x?1A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如图可知，y? 答案：C 2. 设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f (2x)＝f ?97 A．－ B．－ C．－8 D．8 22解析：因为x>0时单调且为偶函数， ?x＋1?的所有x之和为 ??x＋4? ( ) ?x＋1? 所以|2x|＝?(x＋1)． ?，即2x(x＋4)＝± x＋4?? 所以2x2＋9x＋1＝0或2x2＋7x－1＝0. 所以共有四根，设其四根分别为x1，x2，x3，x4， 97 且x1＋x2＝－，x3＋x4＝－. 22 79 －?＝－8，选C. 故满足条件的所有x之和为：－＋?2?2?答案：C 二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） ?2,x?0;3.设函数f(x)??2若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为;关于x的方程f(x)=x ?x?bx?c,x?0,的解的个数为 . 解析：本题考查分段函数及待定系数法求函数解析式.由于x≤0时，f(x)?x?bx?c,由f(-4)=f(0)可知二次函数的对称轴为x=-2,即?2b??2 ?b=4.又f(-2)=-2得c=2,故函数解析式为2?2,x?0;f(x)??2分段解答易知方程f(x)=x有三个根分别为2，-1，-2. x?4x?c,x?0.?答案：f(x)???2,x?0;?x?4x?c,x?0.2 3 4. 若二次函数f(x)＝ax2＋bx，有f(x1－1)＝f(x2＋1)(x1－x2≠2)，则f(x1＋x2)＝____. 解析：因为x1－x2≠2，所以x1－1≠x2＋1. 因为f(x1－1)＝f(x2＋1)，f(x)＝ax2＋bx是二次函数， ?x1－1?＋?x2＋1?bb 所以＝－.所以x1＋x2＝－. 22aa ?－b?2＋b·?－b?＝0. 所以f(x1＋x2)＝a·?a??a? 答案：0 三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分） 5. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)． (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围． 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(x)＞－2x?f(x)＋2x＞0?ax2＋(b＋2)x＋c＞0， ??c 依题意，得?＝1×3， a??a＜0， b＋2－＝1＋3， a ??b＝－2－4a，即? ??c＝3a， 所以f(x)＝ax2－(2＋4a)x＋3a. ① (1)由f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0. ② 因为方程②有两个相等的根， 所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0， 即5a2－4a－1＝0. 1 解得a＝1或a＝－. 5 由于a＜0，舍去a＝1. 1163 将a＝－代入①得f(x)＝－x2－x－. 5555(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a ?1＋2a?2a2＋4a＋1 ＝a?x－， ?－aa?? a2＋4a＋1又a＜0，可得f(x)的最大值为－. aa2＋4a＋1－＞0， a由 ???a＜0， 解得a＜－2－3或－2＋3＜a＜0. 6.已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b、c∈R). (1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b、c的值； (2)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内，求实数b的取值范围. 解：（1）依题意，x1=-1,x2=1是方程x2+2bx+c=0的两个根. 由韦达定理，得??x1?x2??2b,??2b?0,即? ?c??1.?x1x2?c.所以b=0,c=-1. (2)由题知，f(1)=1+2b+c=0,所以c=-1-2b.
高三数学一轮复习练习 2.7 课后限时作业
