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高等数学基础作业1
第1章 函数 第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x
x2?13 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?
x?1分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同
2A、f(x)?(x)?x，定义域?x|x?0?；g(x)?x，定义域为R
定义域不同，所以函数不相等； B、f(x)?x2?x，g(x)?x对应法则不同，所以函数不相等；
3C、f(x)?lnx?3lnx，定义域为?x|x?0?，g(x)?3lnx，定义域为?x|x?0? 所以两个函数相等
x2?1?x?1，定义域为?x|x?R,x?1? D、f(x)?x?1，定义域为R；g(x)?x?1 定义域不同，所以两函数不等。 故选C
⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x 分析：奇函数，f(?x)??f(x)，关于原点对称
偶函数，f(?x)?f(x)，关于y轴对称
y?f?x?与它的反函数y?f?1?x?关于y?x对称，
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设g?x??f?x??f??x?，则g??x??f??x??f?x??g?x? 所以g?x??f?x??f??x?为偶函数，即图形关于y轴对称 故选C
⒊下列函数中为奇函数是（B）．
A. y?ln(1?x) B. y?xcosx
2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)
222分析：A、y??x??ln(1???x?)?ln?1?x??y?x?，为偶函数
B、y??x???xcos??x???xcosx??y?x?，为奇函数 或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数
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a?a?y?x?，所以为偶函数 2D、y??x??ln(1?x)，非奇非偶函数
C、y??x??故选B
⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2?xx D. y????1,x?0
1,x?0? 分析：六种基本初等函数
（1） y?c（常值）———常值函数 （2） y?x,?为常数——幂函数 （3） y?ax?a?0,a?1?———指数函数 （4） y?logax?a?0,a?1?———对数函数
（5） y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx——三角函数
?y?arcsinx,??1,1?,（6） y?arccosx,??1,1?,——反三角函数
y?arctanx,y?arccotx 分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
x2?1 B. limln(1?x)?0 A. lim2x??x?2x?0sinx1 C. lim?0 D. limxsin?0
x??x??xx1分析：A、已知limn?0?n?0?
x??xx22x211x?lim2?lim??1 lim2x??x?2x??x2x??1?21?0?x2x2x2B、limln(1?x)?ln(1?0)?0
x?0 初等函数在期定义域内是连续的
sinx1?limsinx?0
x??x??xx1 x??时，是无穷小量，sinx是有界函数，
xC、lim 无穷小量×有界函数仍是无穷小量
11x，令t?1?0,x??，则原式?limsint?1 D、limxsin?limt?0x??xtxx??1xsin--
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故选D
⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量．
sinx1 B. xx1 C. xsin D. ln(x?2)
x分析；limf?x??0，则称f?x?为x?a时的无穷小量
A.
x?asinx?1，重要极限
x?0x1B、lim??，无穷大量
x?0x11C、limxsin?0，无穷小量x×有界函数sin仍为无穷小量
x?0xxD、limln(x?2)=ln?0+2??ln2
A、limx?0故选C
⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。
A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义
x?x0 C. lim?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x)
分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即limf?x??f?x0?
连续的充分必要条件limf?x??f?x0??limf?x??limf?x??f?x0?
x?x0x?x0?x?x0?x?x0x?x0x?x0x?x0故选A
（二）填空题
⒈函数f(x)?x2?9?ln(1?x)的定义域是
x?3?x|x?3?
．
分析：求定义域一般遵循的原则
（1） 偶次根号下的量?0 （2） 分母的值不等于0
（3） 对数符号下量（真值）为正
（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1 （5） 正切符号内的量不能取k???2?k?0,1,2?
然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域
定义域为 ?x|x?3?
x2?9f(x)??ln(1?x)要求
x?3?x2?9?0?x?3或x??3??x?3?0得求交集 －3 －1 3 ??x?3?1?x?0?x?－1??--
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⒉已知函数f(x?1)?x?x，则f(x)? x2-x ．
2分析：法一，令t?x?1得x?t?1
法二，f(x?1)?x(x?1)??x?1?1??x?1?所以f(t)??t?1?t ⒊lim(1?x??则f(t)??t?1???t?1??t?t则f?x??x2?x
221x)? ． 2xx1?1?分析：重要极限lim?1???e，等价式lim?1?x?x?e
x?0x???x?1f?x?)?e 推广limf?x???则lim(1?x?ax?af?x? limf?x??0则lim(1?f?x?)x?ax?a1f?x??e
11x12x?12lim(1?)?lim(1?)?e2 x??x??2x2x1?x?⒋若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? e ．
?x?0?x?k,分析：分段函数在分段点x0处连续?limf?x??limf?x??f?x0?
x?x0?x?x0?x?0?limf?x??lim?x?k??0?k?kx?0?1xx?0?x?0?limf?x??lim?1?x??e 所以k?e
?x?1,x?0⒌函数y??的间断点是 x?0 ．
sinx,x?0?分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域范围内都是连续的
分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）
x?0?x?0?limf?x??lim?x?1??0?1?1x?0?x?0?limf?x??limsinx?0不等，所以x?0为其间断点
⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为 x?x0时的无穷小量 ．
x?x0分析：lim(f(x)?A)?limf(x)?limA?A?A?0
x?x0x?x0x?x0 所以f(x)?A为x?x0时的无穷小量
（三）计算题
⒈设函数
?ex,x?0f(x)??
?x,x?0求：f(?2),f(0),f(1)．
解：f??2???2，f?0??0，f?1??e?e
1--
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2x?1的定义域． x?2x?1??x?0??2x?11?解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0
x2??x?0???x?0?1?? 则定义域为?x|x?0或x??
2??⒉求函数y?lg
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D A R O h E
B C
设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得
AE?OA2?OE2?R2?h2 则上底＝2AE?2R2?h2
h2R?2R2?h2?hR?R2?h2 2sin3x⒋求lim．
x?0sin2xsin3xsin3x?3xsin3x3133解：lim?lim3x?lim3x?＝??
x?0sin2xx?0sin2xx?0sin2x2122?2x2x2xx2?1⒌求lim．
x??1sin(x?1)故S?????x2?1(x?1)(x?1)x?1?1?1?lim?lim???2 解：limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)1x?1tan3x⒍求lim．
x?0xtan3xsin3x1sin3x11解：lim?lim?lim??3?1??3?3
x?0x?0xxcos3xx?03xcos3x11?x2?1⒎求lim．
x?0sinx--
中央电大--高等数学基础形成性考核册--解析
