女顾客对该商场服务满意的概率P＝（2）由题意可知，K＝
2
＝；
＝
≈4.762＞3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题．
18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【分析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝
＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差
数列的通项公式计算可得答案； （2）若Sn≥an，则na1+
d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求
出n的取值范围，综合即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d， 若S9＝﹣a5，则S9＝若a3＝4，则d＝
＝﹣2，
＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，
则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10， （2）若Sn≥an，则na1+当n＝1时，不等式成立， 当n≥2时，有
≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣a1，
＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（nd≥a1+（n﹣1）d，
又由S9＝﹣a5，即S9＝﹣2）
≥﹣a1，
又由a1＞0，则有n≤10， 则有2≤n≤10，
综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的
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综合应用，属于基础题．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离．
【分析】法一：
（1）连结B1C，ME，推导出四边形MNDE是平行四边形，从而MN∥ED，由此能证明MN∥平面C1DE．
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，推导出DE⊥BC，DE⊥C1C，从而DE⊥平面C1CE，DE⊥CH，进而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由此能求出点C到平面C1DE的距离．
法二：（1）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面C1DE． （2）求出
＝（﹣1，
，0），平面C1DE的法向量＝（4，0，1），利用向量法能求
出点C到平面C1DE的距离． 【解答】解法一：
证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点， ∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D， 由题设知A1B1
DC，∴B1C
A1D，∴ME
ND，
∴四边形MNDE是平行四边形， MN∥ED，
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又MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE． 解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H， 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C， ∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离， 由已知可得CE＝1，CC1＝4， ∴C1E＝
，故CH＝
，
．
∴点C到平面C1DE的距离为解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． ∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， M（1，
，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，
，0），
＝（﹣1，
），
，0），C1（﹣1，
），
，4），
＝（0，﹣＝（0，
设平面C1DE的法向量＝（x，y，z）， 则
，
取z＝1，得＝（4，0，1）， ∵
?＝0，MN?平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE． 解：（2）C（﹣1，
，0），
＝（﹣1，
，0），
平面C1DE的法向量＝（4，0，1）， ∴点C到平面C1DE的距离： d＝
＝
＝
．
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【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【分析】（1）令g（x）＝f′（x），对g（x）再求导，研究其在（0，π）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；
（2）利用（1）的结论，可设f′（x）的零点为x0，并结合f′（x）的正负分析得到f（x）的情况，作出图示，得出结论． 【解答】解： （1）
证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x， ∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1
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＝cosx+xsinx﹣1，
令g（x）＝cosx+xsinx﹣1， 则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx ＝xcosx， 当x∈（0，当x∴当x＝
）时，xcosx＞0，
时，xcosx＜0， 时，极大值为g（
）＝
＜0，
又g（0）＝0，g（π）＝﹣2， ∴g（x）在（0，π）上有唯一零点， 即f′（x）在（0，π）上有唯一零点； （2）
由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0， 使得f′（x0）＝0，
且f′（x）在（0，x0）为正， 在（x0，π）为负，
∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减， 结合f（0）＝0，f（π）＝0， 可知f（x）在[0，π]上非负， 令h（x）＝ax， 作出图示， ∵f（x）≥h（x）， ∴a≤0，
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．
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2019年全国统一高考数学试卷（文科）以及答案解析（全国1卷）
