.
1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt)时间的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为v,平均速率为v．
(1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr｜= Δs = Δr
(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr (C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds (D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds (2) 根据上述情况,则必有( )
(A) ｜v｜= v,｜v｜= v (B) ｜v｜≠v,｜v｜≠ v (C) ｜v｜= v,｜v｜≠ v (D) ｜v｜≠v,｜v｜= v
分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．
(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故
ΔrΔs,即｜v｜≠v． ?ΔtΔt但由于｜dr｜＝ds,故
drds?,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)． dtdt1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
. . .
.
drdrds?dx??dy?(1)； (2)； (3)； (4)?????．
dtdtdt?dt??dt?下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 分析与解
22dr表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标dt系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；
drds表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式v?计算,在
dtdt22?dx??dy?直角坐标系中则可由公式v??????求解．故选(D)．
?dt??dt?1 -3 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an
起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
21 -4 质点的运动方程为x??10t?30t和y?15t?20t，式中x,y
2的单位为m,t 的单位为ｓ。试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．
分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．
解 (1) 速度的分量式为
vx?dx??10?60t dt . . .
.
vy?dy?15?40t dt-1
当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ , voy ＝15 m·ｓ ,则初速度大小为
-1
v0?v0x?v0y?18.0m?s?1
设vo与x 轴的夹角为α,则
22tanα?v0yv0x3??
2α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
ax?dvdvx?60m?s?2 , ay?y??40m?s?2
dtdt则加速度的大小为
a?ax?ay?72.1m?s?2
设a 与x 轴的夹角为β,则
22tanβ?ay2?? ax32
-2
β＝-33°41′(或326°19′)
1 -5 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t ,式中a的单位为m·ｓ ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ ,求质点的运动方程．
分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由a?-1
dvdx和v?可得dv?adt和dtdtdx?vdt．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间
t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．
解 由分析知,应有
vt?
v0dv??adt
0得 v?4t?t?v0 (1)
133 . . .
.
xt由
?dx??vdt
x002得 x?2t?-1
14t?v0t?x0 (2) 12-1
将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ代入(1) (2)得v0＝-1 m·ｓ,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为x?2t2?-1
14t?0.75 121 -6 飞机以100 m·ｓ 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？
分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．
此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．
解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x ＝vt, y ＝1/2 gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
-1
. . .
.
x?v2y?452m g12bt运动,v0 、b 都21 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律s?v0t?是常量．(1) 求t 时刻质点的总加速度。
分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为
a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．
解 (1) 质点作圆周运动的速率为
v?ds?v0?bt dt其加速度的切向分量和法向分量分别为
d2sv2(v0?bt)2at?2??b, an??
dtRR故加速度的大小为
at2b2?(v0?bt)4 a?a?a?R2n2t其方向与切线之间的夹角为
?(v0?bt)2?anθ?arctan?arctan?? ?atRb??1 -8 一升降机以加速度1.22 m·ｓ上升,当上升速度为2.44 m·ｓ
-2
-1
时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．
分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和
y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法
是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,
. . .
物理学简明教程马文蔚第1至7章课后习题答案详细讲解
