第八章 空间解析几何与向量代数自测题
A
一、填空
1. 已知空间三点A(1,2,0)、B(?1,3,2)、C(2,3,1)，则cos?BAC?133vuuuvuuu；向量AB在AC上的投影为
1；三角形的面积S?ABC?322vuuuvuuu261(?1,4,?3). ；同时垂直于向量AB与AC的单位向量为?226222. xOy面上的曲线y?x绕y轴旋转一周所得旋转曲面方程为y?x?z.
3. 在平面解析几何中y?x表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.
2224. 球面x?y?z?2x?4y?2z?0的球心坐标为(1,?2,?1)，球半径长为6.
?x2?y2?z2?9?2x2?2x?y2?85. 曲线?在xOy面上的投影为?.
?x?z?1?z?022?x?2x?y?06. 曲面z?x2?y2被曲面x?y?2x?0所截下的部分在xOy面上的投影为?.
z?0?7. 过点A(3,0,?1)且与平面3x?7y?5z?12?0平行的平面方程为3x?7y?5z?4?0.
222. 33x?3y?1z?3x?1z?29. 直线与直线相互垂直，则k?. ???y?5?2kk?153k?248. 点A(3,0,?1)到平面x?2y?2z?3?0的距离为
二、解答题
1. 求过点M1(4,1,2)，M2(?3,5,?1)，且垂直于6x?2y?3z?7?0的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为n0?(6,?2,3)，取所求平面的法向量为
vvivvvuuuuuun?M1M2?n0??76vj4vk?3?(6,3,?10)，所以所求平面方程为 3?26(x?4)?3(y?1)?10(z?2)?0，即6x?3y?10z?7?0.
xy?1z?32. 求通过直线?与点A(3,0,1)的平面方程. ?2?13v解：由已知可知，直线过点P(0,?1,3)，方向向量为s?(2,?1,3)，取所求平面的法向量
vvvijkuuuvvvn?PA?s?31?2?(1,?13,?5)，所以所求平面方程为x?3?13y?5(z?1)?0，即
2?13x?13y?5z?2?0.
z?4与平面2x?y?z?6?0的交点及夹角余弦. 2解：直线的参数是方程为x?2?t,y?3?t,z?4?2t，代入平面方程得t??1，所以交点坐标为(1,2,2)，
3. 求直线x?2?y?3?vvs?n511vv?. sin??|cos(s,n)|?vv?,cos??sn66xy?1z?34. 求过点A(3,0,1)且与直线?垂直相交的直线方程. ?2?13xy?1z0?3解：设垂足坐标为P(x0,y0,z0)，则由已知条件得0?0， ?2?13uuuvvuuuv11339AP?s?2(x0?3)?y0?3(z0?1)?0，解得P(?,?,)，取所求直线方向向量为AP，所以所求直
71414x?3yz?1x?3yz?1线的方程为，即. ????221325?44?1325??71414B
xy?1z?31. 求点A(3,0,1)到直线?的距离； ?2?13uuuvvAP?s195v?解：由已知可知，直线过点P(0,?1,3)，方向向量为s?(2,?1,3)，所以d?. vs14xy?1z?3x?1y?5z?22. 判定直线l1:?与直线l2:是否相交，如果相交，求出交点，如果???2?1334?2异面，求出两条异面直线间的距离；
v解：由已知可知，直线l1过点P1(1,?5,?2)，方向向1(0,?1,3)，方向向量为s1?(2,?1,3)，直线l2过点P1?4?5uuuuvvvv?13??117?0，所以两直线异面，距离 量为s2?(3,4,?2)，因为[PP12 s1 s2]?234?2uuuuvvv[PP11712 s1 s2]d?vv?；
s1?s23903. 求点A(1,1,3)关于平面x?y?z?0对称的点.
224解：过点A(1,1,3)且与平面垂直的直线方程为点x?1?y?1?z?3，所以垂足为P(?,?,)，设对
333uuuuvuuuv555771称点为M(x,y,z)，则AM?2AP，即(x?1,y?1,z?3)?2(?,?,?)，所以M(?,?,?).
333333z?44. 求直线x?2?y?3?在平面2x?y?z?6?0上的投影直线及直线关于平面对称的直线方
2程；
解：由已知可知，直线l0的参数式方程为x?2?t,y?3?t,z?4?2t，代入平面方程可得t??1，所以交点为P1(1,2,2)，过点P(2,3,4)且与已知平面垂直的直线l2方程为x?2?2t,y?3?t,z?4?t，垂足
11319x?1z?2x?1y?2z?2,)，?y?2?所以已知直线l0在平面上的投影直线为，即， ??217366?47?366uuuvuuuv447P(?,,)，所以已知直线关于平面设点P(2,3,4)关于已知平面的对称点为P3，则PP，解得?2PP332333为P2(,x?1y?2x?1y?2z?2，即??z?2. ??721?7?2??333xy?15. 求直线??z?3绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程.
2?1解：设所求曲面上任一点P(x,y,z)是由直线上的点P1(x1,y1,z1)绕z轴旋转得来，则
xy?1x2?y2?x12?y12,z?z1,1?1?z1?3，消去x1,y1,z1得x2?y2?5z2?28z?40.
2?1对称的直线方程为
高等数学第八章练习题及答案
