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第七节 二项分布、正态分布及其应用
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念； 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布； 3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义； 真题举例 2016，全国卷Ⅱ，18(2)，4分(条件概率) 2016，四川卷，12,5分(二项分布) 2015，全国卷Ⅰ，4,5分(独立重复试验的概率) 2016，北京卷，16(Ⅰ)(Ⅱ)，8分(相互独立事件的概率) 命题角度 相互独立事件、n次独立重复试验、二项分布，条件概率以及正态分布曲线的性质和服从正态分布的随机变量的概率是考查的热点，各种题型都可能涉及。 4.能解决一些简单的实际问题。 2015，湖北卷，4,5分(正态分布) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．条件概率 (1)条件概率的定义
PAB设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件
PAB发生的条件概率。
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝
P(B|A)＋P(C|A)。
2．相互独立事件的概率 (1)相互独立事件的定义及性质
①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝①P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立。 ②性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立。 (2)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)。
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(3)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为
kn－kp，则P(X＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，n。此时称随机变量X服从二项分布，记作X～np(1－p)
B(n，p)，并称p为成功概率。
3．正态分布 (1)正态曲线的定义
x－μ函数φμ，σ(x)＝e－
2σ22πσ1
2
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝?bφμ，σ(x)dx，则称随机变量
?a
X服从正态分布，记作N(μ，σ2)。
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值
1；
σ2π
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
(4)正态分布中的3σ原则 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4。
微点提醒
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。
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2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。
3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(选修2－3P55练习T1改编)有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率1
都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为( )
2
1317A. B. C. D. 8828
【解析】 记“至少有二位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有二位同1学能通过测试”或“恰好有三位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1－
21
＝，且相互独立，故P(A)＝ 2
?1?33?1?31C23??＋C3??＝。故选C。 ?2??2?2
【答案】 C
2．(选修2－3P74练习T1改编)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是( )
A．32 C．8
B．16 D．20
【解析】 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|<10)＝0.682 6，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一1
半。所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 6×48≈16。故选B。
2
【答案】 B 二、双基查验
1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
3132A. B. C. D. 10389
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【解析】 事件A：“第一次拿到白球”，
B：“第二次拿到红球”，
21231
则P(A)＝＝，P(AB)＝·＝，
10510915
PAB1
故P(B|A)＝＝。故选B。
PA3
【答案】 B
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 C．0.6
B．0.75 D．0.45
【解析】 设某天空气质量优良，则随后一天空气质量也优良的概率为p，则得0.6＝0.75·p，解得p＝0.8，故选A。
【答案】 A
3．某机械零件加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假定两道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( )
A．ab－a－b＋1 C．1－ab
B．1－a－b D．1－2ab
【解析】 由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关，故产品的合格率为P＝(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1。故选A。
【答案】 A
4．(2017·唐山模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝________。
【解析】 因为随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，所以正态分布曲线关于直线x＝0对称， 1
所以P(ξ>0)＝P(ξ<0)＝，
2
P(ξ>1)＝P(ξ<－1)＝p，
1
所以P(－1<ξ<0)＝P(ξ<0)－P(ξ<－1)＝－p。
2【答案】
1－p 2
5．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说
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这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________。
333?3?
【解析】 由题意知，试验成功的概率p＝，故X～B?2，?，所以E(X)＝2×＝。
442?4?【答案】
3
2
微考点 大课堂 考点一 条件概率 【典例1】 (2016·长春模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
1
A. 82C. 5
2C3＋C2422
【解析】 P(A)＝＝＝， 2
C51052
C21
P(AB)＝2＝。由条件概率计算公式，得
C510
1B. 41D. 2
1101PABP(B|A)＝＝＝。
PA44
10【答案】 B
【母题变式】 1.把本典例中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则P(B|A)＝________。
【解析】 事件A＝“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，
2所以P(A)＝。
5
3
事件B：“取到的2个数均为奇数”所包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，所以P(AB)＝，
10所以P(B|A)＝
3 4
PAB3
＝。
PA4
【答案】
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高考数学大一轮复习第十章第七节二项分布正态分布及其应用教师用书理55
