第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型； 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题. 难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
自主学习 一、知识链接
1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？
2.下面式子哪些是方程？
2+6=8 2x+3 5x+6=22
x+3y=8 x-5<18
429x
3. 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.
课堂探究 二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部
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分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
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要点归纳：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，
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这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，其中 称为二次项， 称为二次项系数， 称为一次项， 称为一次项系数， 称为常数项.
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想一想：为什么一般形式中ax+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
典例精析 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
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102xC.(x1)(x2)0A.x2B.3x25xyy20
2D.4x21=(2x+3)方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2；
(2) (a－1)x|a|+1 －2x－7=0.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
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【变式题】方程(2a－4)x－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系： 1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
例3 (教材P3例题)将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.
方法总结：系数和项均包含前面的符号. 探究点2：一元二次方程的根
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问题1：下面哪些数是方程 x–x–6 = 0的解? -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2
x2 – x – 6 要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
典例精析 2
例4 已知关于x的一元二次方程x+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
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【变式题】已知a是方程 x+2x－2=0 的一个实数根，求 2a+4a+2024的值.
方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值． 探究点3：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂
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直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m，问小路的宽应为多少？
三、课堂小结 一元二次方程的概念 ①是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 2一元二次方程的一般形式 ax+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 一元二次方程的根 建立一元二次方程模型 使方程左右两边相等的未知数的值. 审→设→找→列
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当堂检测 1.下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2 x=0 (x+3)(2x-4)=x 3y=(3y+1)(y-2) x=x+x-1 3x=5x-1 2.填空： 方程 2
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一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x=-3x 23y+1=23y 24x=5 2(2-x)(3x+4)=3 22
3.关于x的方程(k－1)x＋2(k－1)x＋2k＋2＝0， 当k 时，是一元二次方程； 当k 时，是一元一次方程.
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4.（1）已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 .
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x+5x+m-4=0，有一个根为0，求m的值.
5. (1) 如图，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；
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(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来
汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
拓展提升
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6.已知关于x的一元二次方程 ax+bx+c=0 (a≠0)一个根为1， 求a+b+c的值.
思考：（1）若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
（2）若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出方程ax+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
参考答案
自主学习 一、知识链接
1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③是整式方程.
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2024秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程导学案(新版)新人教版
