构造函数利用导数解决函数问题

构造函数利用导数解决函数问题

构造函数解决不等式问题 例：[2011·辽宁卷]函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2， 则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f’(x)>2，

所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，

又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，

即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. 训练：

1.已知函数y?f(x)的图象关于y轴对称,且当

x?(??,0),f(x)?xf'(x)?0成

?立a?20.2f(20.2)，b?log3f(log?3)，c?log39f(log39),则a,b,c

c?a?b的大小关系是 ( ) A. b?a?c B. C.c?b?a D.a?c?b

解：

因为函数y?f(x)关于y轴对称,所以函数y?xf(x)为

[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)奇函数.因为

x?(0,??),所以当

x?(??,0)时,[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0,函数

时,函数,0?1og?y?xf(x)单调递减,当

3?20.2?1og39y?xf(x)单调递减.因为

?1?20.2?23?1,1og9?2,所以0?1og3,所以

2

b?a?c,选A. ，则有

，f(2013)?e，f(2013)?e，f(2013)?e，f(2013)?e则

20132. 已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有

f(x)?f?(x)A．eB．eC．eD．e2013f(?2013)?f(0)f(?2013)?f(0)f(?2013)?f(0)f(?2013)?f(0)f(0)f(0)f(0)f(0)

，

201320132013201320132013解：构造函数

f(x)g(x)?x,ef?(x)ex?(ex)?f(x)f?(x)?f(x)g?(x)??x2(e)exx因为?x?R,均有f(x)?f?(x)，并且e?0，所以g?(x)?0，故函

数g(x)?fe(x)在R上单调递减，所以

xg(?2013)?g(0)，g(2013)?g(0)，即f(e?2013)?f(0)，f(2013) ?f(0)，e?20132013也就是e122013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0)，故选D．

6. 已知函数f(x)(x?R)满足f(1)?1，且f(x)的导函数

f'(x)?x1，则f(x)?2（ ）A. ?x?1?x?1? B. ?的解集为2?xx??1? C. ?xx??1或x?1? D. ?xx?1?

x1解：构造新函数F(x)?f(x)?(2?), 则211F(1)?f(1)?(?)?1?1?022F'(x)?f'(x)?F(x)，

12，对任意x?R，有F'(x)?f'(x)?1?0，即函数2在R上单调递减，则F(x)?0的解集为(1,??)，即

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