第5讲 守恒问题模型
5.1 类碰撞
碰撞问题是高中物理的重点和难点之一，从能量角度，碰撞可分为弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞。我们会发现，在平时的习题乃至高考题中有一大类与碰撞相类似的习题；当两个物体发生相互作用时,系统所受的外力之和为零,所以相互作用的过程中,系统动量守恒；系统的能量在动能与重力势能、弹性势能、电能、内能等之间相互转化,我们把这种问题称作“类碰撞”问题。类碰撞问题涉及面很广,包括力、热、电、磁等现象中的动量和能量问题。这类题目的综合性较强，它所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系能够全方位地考查同学们的理解能力、逻辑思维能力及分析推理能力，通常会成为同学们学习的难点。处理这类问题的关键是一定要透析碰撞的规律，灵活运用模型特征解题。
知识点睛
例题精讲
碰撞模型回顾
【例1】 在一竖直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。现有质量
分别为mA和mB的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生弹性碰撞，碰后A仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A，B至少发生两次碰撞的条件。
mB?3mA 【答案】
【总结】
两个（或两个以上）物体相遇，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，而运动状态发生显著变化，这种现象称为碰撞。碰撞是一个基本的十分重要的物理模型，其特点是：
1．动量守恒性，因碰撞时间极短，相互作用的内力大于外力，所以系统在碰撞过程中动量守恒。 2．动能不增性，在碰撞过程中，系统总动能只有减少或者不变，而绝不会增加，即不能违背能量守恒原则。若弹性碰撞则同时满足动量、动能守恒。非弹性碰撞只满足动量守恒，而不满足动能守恒（系
统的动能减少）。
3．瞬时性，由于物体在发生碰撞时，所用时间极短，因此在计算物体运动时间时，通常把碰撞时间忽略不计；在碰撞这一极短的时间内，物体的位置是来不及改变的，因此我们可以认为物体在碰撞中位移为零。
4．实际性，碰撞结果必须与实际情况相符合，如：在后面运动的物体的速度比在前面运动的物体的速度大；也不可能出现两球相向碰撞后，速度方向都没有发生变化等。
类碰撞——绳模型
【例2】 如图所示，光滑水平面上有两个质量相等的物体，其间用不可伸长的细绳相连，开始B静止，
A具有pA?4kg?m/s（规定向右为正）的动量，开始时绳松弛，那么在绳拉紧的过程中，A、B动量变化可能是
A. ΔpA??4kg?m/s，ΔpB?4kg?m/s
B. ΔpA?2kg?m/s，ΔpB??2kg?m/s C. ΔpA??2kg?m/s，ΔpB?2kg?m/s D. ΔpA?ΔpB?2kg?m/s
【答案】 C
谐振子——弹簧模型
【例3】 如图所示，滑块A、B的质量分别为m与M，且m?M，由轻质弹簧相连接，置于光滑的水
平面上。用一根轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧，两滑块一起以恒定的速度v0向右滑动，突然，轻绳断开，当弹簧恢复至自然长度时，滑块A的速度正好为零，问在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度为零的时刻？试通过定量分析，证明你的结论。
【答案】 不可能
【总结】
在这类问题中，物体之间的相互作用是靠弹簧来实现的。弹簧上的弹力会对物体的运动状态产生影响，同时，整个系统的能量也会从某些形式转化到另一些形式。所以，谐振子问题是力学与碰撞问题的结合点，可以相互注释，结论相互引用，在受力分析的同时应用碰撞方程的解，需要比较高的知识迁移能力。
【例4】 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视为质点，质量分别为mP、mQ且
mP?mQ，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞，一
段时间后P与弹簧分离。在这一过程中，下列说法正确的是 A．P与弹簧分离时，Q的动能达到最大，P的动能达到最小 B．P与Q的速度相等时，P的速度为零，加速度最大 C．P与Q的速度相等时，P和Q的动量之和达到最小 D．P与Q的速度相等时，P和Q的动能之和达到最小
【答案】 D
【例5】 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v?6m/s的速度在
光滑水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求在以后的运动中
⑴ 当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？ ⑵ 弹性势能的最大值是多大？
⑶ A的速度有可能向左吗？为什么？
【答案】 ⑴vA?3m/s ⑵ EP?12J ⑶ 不可能
【例6】 如图所示，滑块A1A2由轻杆连结成一个物体，其质量为M，轻杆长L。滑块B的质量为m，
L长，其左端为一小槽，槽内装有轻质弹簧。开始时，B紧贴2A1，使弹簧处在压缩状态。突然松开弹簧，在弹簧作用下整个
系统获得动能Ek，弹簧松开后便离开小槽并远离物体A1。以后
假定整个系统都B将在A1和A2之间发生无机械能损失的碰撞。位于光滑的水平面上，求物块B的运动周期。
MmT=L【答案】
2Ek(M+m)
类碰撞中的圆弧模型
【例7】 光滑的水平面上，质量为m的小球以速度v0冲上静止放置的带有
1光滑圆弧的质量为M的曲面体，已知曲面顶端切线竖直。若m4未能越过曲面体，求球到达最高点时曲面体的速度以及曲面半径的最小值。
Mv02mv0【答案】 ，h? v?2?M?m?gM?m
【总结】
这种模型的特点是，只要地面光滑，那么:
1．球和弧面的总动量在水平方向上总是守恒的。从弧面最顶端脱离后，球将与弧面保持水平方向上的相对静止，所以最终会从同一点回落再次以切线方向进入弧面。
2．球和弧面之间的关系属于完全弹性碰撞，任何时候两者所组成的总体，在相互作用过程中机械能是守恒的。球处在弧面最底端时两者总动能最大，重力势能最小；球处在弧面最顶端时，球与弧面水
平方向速度相等，两者总动能最小，重力势能最大。
人船模型
【例8】 如图所示，水平地面光滑，其它摩擦均不计，物体A、B质量分别为m、
M，图中R为已知，物体A均无初速释放。A达到B右边最高点时，B的速度为 ，A的对地位移为 。 【解析】 过程Ⅰ：A向最低点加速下滑时，B反冲向左加速，当达最低点时，两者
速度最大。
过程Ⅱ：由于惯性A向右上滑（减速）B向左滑（减速），当A到
达右边最高点时，A与B速度相等，由水平方向动量守 恒得：0??M?m?v，故v?0（同时为0，即“你停我
停”）水平方向动量守恒得：mSA?MSB由图得：
MSA?SB?2R所以SA??2R。
M?m2MR【答案】 0，
M?m
【总结】
1．人船模型：初态人和船均静止，不计水阻力（两个物体均处于静止，当两个物体存在相互作用而不受外力作用时，系统动量守恒）
2．人船模型的特点：两物体你动我动，你停我停，你快我快，你慢我慢，你左我右，你右我左。 ① 若一个原来静止的系统的一部分发生运动，则根据动量守恒定律可知，另一部分将向相反方向运动。
mm1v1?m2v2?0，则v1?2v2
m1m经过时间的积累，运动的两部分经过了一段距离，同样的，有x1?2x2
m1② 当符合动量守恒定律的条件，而仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解。解此类题通常要画出反映位移关系的草图。 人船模型中，人的位移与船的位移分别为l人?的相对位移。
【例9】 如图所示，质量为mB的斜面体B放在质量为mA的斜面体A的顶端，斜
面体A放在水平面上，若斜面体A的下底边长度为a，斜面体B的上边长度为b，且mA?2mB，不计一切摩擦，求当B由A的顶端从静止开始滑到A的底端时，A移动的距离。
a?b【答案】 xA?3
电磁场中的“类碰撞” 【例10】 如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，
平行板电容器板间的距离为d，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M，给电容器充电后，有一质量为m的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v0对准小孔向左运动，并从小孔进入电容
M船m人L，l船?L，其中L是人和船
M船?m人M船?m人器，设带电环不影响电容器板间电场分布。带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d，试求：
⑴ 带电环与左极板相距最近时的速度v ⑵ 此过程中电容器移动的距离s。 ⑶ 此过程中能量如何变化？
mv0md【答案】 ⑴ v? ⑵s?? ⑶ 在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同
M?mM?m2时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能。
【总结】
在电场和磁场中，物体间的相互作用靠电场力和磁场力来实现，同样也会对系统内各物体的运动状态有影响。通过分析我们会发现，物体的受力特点和运动特点都和碰撞模型相类似，只不过在能量转化的过程中，会有电势能、磁场能等形式的能量参与进来。所以我们可以根据碰撞模型的解题规律解决电磁场中的这类问题。
【例11】 如图所示，在光滑的水平面上静止着两小车A和B，在A车上
固定着强磁铁，总质量为5kg，B车上固定着一个闭合的螺线管与B车的总质量为10kg，现给B车一个水平向左的100N?s瞬间冲量，若两车在运动过程中不发生直接碰撞，则相互作用过程中产生的热能是多少? 【答案】 Q?166.7J
【例12】 匀强电场的方向沿x轴正向，电场强度E随x的分布如图所示。图中E0和d均为已知量。将带正电的质点A在O点由静止释放，A离开电场足够远后，再将另一带正电的质点B放在O点也由静止释放，当B在电场中运动时，A、B间的相互作用力及相互作用能均为零：B离开电场后，A、B间的相作用视为静电作用。已知A的电荷量为Q。A和
m，不计重力求： B的质量分别为m和4
⑴ 求A在电场中的运动时间t
4⑵ 若B的电荷量q?Q，求两质点相互作用能的最大值EPm
9⑶ 为使B离开电场后不改变运动方向，求B所带电荷量的最大值qm 【答案】 ⑴ t?
2dmQE0⑵ EPm?
161QE0d⑶qm?Q
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5.2 双杆碰撞
知识点睛
高中物理 重难点讲义+巩固练习题第5讲.守恒问题模型
