§1 关于实数集完备性的基本定理
在第一、二章中, 我们已经证明了关于实数集的确界原理、单调有界定理并给出了数列的致密性定理和柯西收敛准则. 这些命题反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的.有关实数集的完备性基本定理，还有区间套定理，聚点定理和有限覆盖定理.构成实数集六个基本定理。
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一、区间套定理
二、聚点定理与有限覆盖定理
三、实数完备性基本定理的等价性
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一、区间套定理
定义1 设闭区间列{[an,bn]}满足如下条件:1.[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,,2.lim(bn?an)?0,n??则称{[an,bn]}为闭区间套,简称区间套.定义1 中的条件1 实际上等价于条件
a1?a2??an??bn??b2?b1.前页 后页 返回
定理7.1(区间套定理) 若{[an,bn]}是一个区间套,则存在唯一的实数?,使??[an,bn],n?1,2,或者
????,{?}??[an,bn].??????????????????????????????????????????n?1???????????????????????????????????????a1a2anan?1???????????????????????????????????????????????xbn?1bnb2b1证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
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设
??liman,n??从而由定义1 的条件2 可得
limbn?lim(bn?an)?liman??.n??n??n??因为 {an} 递增, {bn} 递减, 所以
an???bn,?的存在性. 这样就证明了
下面来证明唯一性. 设 ?1 也满足
an??1?bn,前页 后页 返回
数学分析7-171 关于实数集完备性的基本定理
