数学选修2-3第二章《随机变量及其分布》知识点必记
1.什么是随机变量？
答:在某试验中,可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不 同而变化的,我们把这样的变量X叫做一个随机变量。
离散型随机变量:如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X为离散型随 机变量。
2.什么是概率分布列？
答:要掌握一个离散型随机变量X的取值规律,必须知道: ⑴X所有可能取的值x1,x2,?,xn; ⑵X取每一个值xi的概率p1,p2,?,pn; 我们可以把这些信息列成表格(如此): … x1 x2 X … … xi pi xn pn P p1 p2 … 上表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变量X的分布列。
3.什么是二点分布？ 答: 1 0 XP p q 其中0?p?1,q?1?p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布。 4.什么是超几何分布？
答:一般地,设有总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n?n?N?件,这
n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,它取值为m时的概率为
mn?mCMCN?M(0?m?l,l为n和M中较小的一个)。我们称离散型随机变量X的这种 P?X?m??nCN形式的概率分布为超几何分布,也称X服从参数为N,M,n的超几何分布。
5.什么是条件概率？
答:对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率 用符号P?BA?来表示。
6.什么是事件的交(积)？
答:事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A和B的交(积)。 7.什么是相互独立事件？
答:事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即P?BA??P?B?,这时我们称两个事件
A和B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件。一般地,当事件A和B相互独时,A和
1
B,A和B,A和B也相互独立。
8.什么是独立重复试验？
答:在相同的条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它为n次独 立重复试验。
9.独立重复试验的概率公式是什么？
k答:一般地,事件A在n次试验中发生k次,共有Cn种情形,由试验的独立性知A在k次试验中
发生,而在其余n?k次试验中不发生的概率都是pk?1?p?n?k,所以由概率加法公式知,如果在一 次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率
kk为Pn?k??Cnp?1?p?n?k?k?0,1,2,?n?。
10.什么是二项分布？
答:在独立重复试验概率公式中,若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为
q?1?p,则在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P?X?k??Cnkpkqn?k,其中 k?0,1,2,?n。于是得到X的分布列
X0 1 … … k Cnkpkqn?k … … n nn0Cnpq P 11n?100nCnpq Cnpq 由于表中的第二行恰好是二项式展开式 11n?122n?2kkn?knn0?p?q?n?Cn0p0qn?Cnpq?Cnpq???Cnpq???Cnpq
各对应项的值,称这样的离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B?n,p?。 11.什么是离散型随机变量的数学期望？
答:一般地,设一个离散型随机变量X所有可能的取值是x1,x2,?xn,这些值对应的概率是
p1,p2,?pn,则E?X??x1p1?x2p2???xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望
(简称期望)。
12.二点分布的数学期望是多少？答:E?X??p。 13..二项分布的数学期望是多少？答:E?X??np。 14.超几何分布数学期望是多少？答:E?X??15.什么是离散型随机变量的方差？
答:一般地,设一个离散型随机变量X所有可能的取值是x1,x2,?xn,这些值对应的概率是
p1,p2,?pn,则D?X???x1?E?X??p1??x2?E?X??p2????xn?E?X??pn叫做这个离散型随机变量
222nM。 N2
X的方差。离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(离散程度)。将D?X?化简得D?X??E(X2)?[E(X)]2 16.二点分布的方差是多少？答:D?X??pq。
17.二项分布的方差是多少？答:D?X??npq?q?1?p?。
18.什么是标准差？答:D?X?的算术平方根D?X?叫做离散型随机变量X的标准差。 19.什么是正态分布？
答:正态变量概率密度曲线函数表达式:f?x???x???22?212???e?,x?R,其中?,?是参数,且
??0,???????。如下图:
120.一般地,一组数据x1,x2,x3,.....xn的平均值为:x=(x1?x2.....?xn);
n1方差s2?(x1?x)2?(x2?x)2?......?(xn?x)2;化简得:
n2211222222s2?(x1?x2?......?xn)?n.x?(x1?x2?......?xn)?x
nn
??????3
《随机变量及其分布》知识点
一. 随机变量:
㈠随机变量的定义:
如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不同而变化取不 同的值,那么这样的变量X叫做随机变量.随机变量常用大写字母X,Y等或希腊字母?,?,?等表示。
㈡离散型随机变量:对于随机变量X所有可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫 做离散型随机变量。正因为如此,几何概率所表示的变量不属于离散型随机变量。 离散型随机变量
⑴随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
字母X,Y,?,?等表示.
⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随 机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随 机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可 以一一列出.
若X是随机变量,Y?aX?b(a,b是常数)则Y也是随机变量,并且不改变其属性(离散型、连续型).
㈢离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X所有可能取的值分别为x1,x2,x3...xi,,xn, 且X取每一个值xi(i?1,2,3...)的概率P(X=xi)＝Pi,则称下表为离散型随机变量X 的概率分布,简称
X的分布列。
注意:1)也可以用等式P(X?xi)?pi表示离散型随机变量X的分布列;
2)还可以用图象来表示离散型随机变量X的分布列。另注:函数可以用解析式,表格或图像来表示; 离散型随机变量的分布列也可以用解析式,表格或图像来表示。 3)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。
4)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数。试验 结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域。 5)所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量。
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㈣离散型随机变量的分布列性质:
①pi?0,i?0,1,2,...n; ②p1?p2?p3?...?pn?1;
㈤特殊的分布列:
1.两点分布:也称0?1分布。由于只有两种结果的随机试验叫做伯努利试验,所以也叫伯努利分布。 如果随机变量X的分布列为:
其中0?p?1,q?1?p,则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布。
并称p?P(X?1)为成功概率.两点分布的应用十分广泛,例如:买彩票是否中奖;新生儿性别;投篮是否命中等,都可以用两点分布来研究。 2.单点分布:也称“退化分布”:
? P xi 1 3.几何分布:某种试验每次只有两种结果A(成功)与A,每次成功的概率P(A)?p且每次试验的结果互 不影响,试验n次,首次成功的概率为P(X?k)?(1?p)k?1p1,其分布列为:q?1?p
(1?p)n?1p1 X 1 2 … k … … n … P p pq (1?p)k?1p1 如果随机变量的概率分布具有上述形式,则称随机变量X服从几何分布。如下例题:
eg1.对某目标进行射击,直到击中为止,如果每次射击的命中率为p,求射击次数 的分布律。
4.超几何分布:一般地,设总数为N件的两类物品,其中某类有M件,从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件 中所含该类物品件数X是一个离散型随机变量,则它取值为k时的概率为
kn?kCMCN?MP(X?k)?(k?0,1,2,nCN,m),
X 0 1 ? m P 其中m?min? ?M,n?,且n≤N,M≤N,n,M,N?N*。如果随机变量X的分布列具有上表的形式,
则称随机变量X服从超几何分布。 二.条件概率:
定义:对于任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生,叫做条件概率事件。
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180《随机变量及其分布》知识点总结
