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§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用
蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
一、灰色预测模型GM（1,1） 建模步骤如下：
（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：
dX(1)?aX(1)?u （1）
dt式中，a,u是需要通过建模来求得的参数；X(1)是原始数据X(0)的累加生成（AGO）值。
（2）将同一数据列的前k项元素累加后生成新数据列的第k项元素，这就是数据处理。表示为：
X不直接采用原始数据X(0)(1)(k)??X(0)(n) （2）
n?1k建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，
然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM（1,1），其数据矩阵为
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??0.5[X(1)(1)?X(1)(2)]???0.5[X(1)(2)?X(1)(3)]B??????0.5[X(1)(N?1)?X(1)(N)]?（3）
(0)(0)(0)T向量YN?[X(2),X(3),?,X(N)]
1??1????1??
（4）作最小二乘估计，求参数a,u
T?1T?????u???(BB)BYN （4）
???a?（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为
?(1)(t?1)?(X(0)(1)?u)e?at?u （5） Xaa这就是要建立的灰色预测模型。 二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测
下面是对Cr-mo-0.25V低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 1 载荷应力（kg/mm2） 断裂时间（?100X一次累加数列X(1)(0)序 数 K 2 36 2.80 5.18 3 35 4.25 9.43 4 34 6.85 16.28 5 33 11.30 27.58 37 2.38 2.38 (K)小时） (K) 1、建立GM（1,1）模型 表中一次累加数列X(1)(k)是根据断裂时间数列X(0)(k)，由公式（2）得到的。例如，
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X(1)(3)??X(0)(n)?2.38?2.80?4.25?9.43。
n?13??3.78???7.30按（3）构造矩阵B???12.8???21.9?1??1???0.5?T?Y?[2.80,4.25,6.85,11.3]?，，代入（4），可得??N?0.97??， 1????1??(1)?按（5）可得到模型（1）的解为X(t?1)?4.4e0.5t?2.2，取t为应力序数k时，由
?(1)(k?1)?4.4e0.5k?2.2 （6） X?即可得到生成累加数列X2、检验
(1)(k?1)(k?1,2,?)。
? 当k?1,2,3,4时，由（6）式得出X(1)(k?1)?[5.05,9.76,17.52,30.3]，而由表中得出
X(1)(k?1)?[5.18,9.43,16.28,27.58]，计算出平均相对误差为0.04，这一精度是相当理想的。
3、预测
由上面得到的一次累加生成数列与实际一次累加生成数列很接近，因而可以用来估计原始一次累加生成数列中的各个数据。特别是估计序数5以后的数据，就更有实际意义了。
轻载荷的蠕变实验所需要的时间是相当长的，少则几天，多则几年。在重载荷的基础上减轻1公斤，试验时间将相应增加几百甚至几千小时。根据已有重载荷试验数据，预报减轻重载后的断裂时间就显得重要了。下面，我们根据（6）式来预测载荷32 kg/mm2的断裂时间。它对应的序数为6，也就是要求出X(1)(6)和X(0)(6)。由（6）式得X(1)(6)?51.4，从表中查得
X(1)(5)?27.58再由X(0)(6)=X(1)(6)?X(1)(5)?23.82，这说明，在载荷32 kg/mm2下，此
种材料大约经过2382小时断裂。
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数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用
