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考点05 函数的基本性质
一、函数的单调性 1．函数单调性的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f?x?的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1?x2时，都有f?x1??f?x2?，那么就说函数f?x?在区间D上是增函数 当x1?x2时，都有f?x1??f?x2?，那么就说函数f?x?在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是下降的 自左向右看，图象是上升的 设x1,x2?[a,b]，x1?x2.若有(x1?x2)[f?x1??f?x2?]?0或
f(x1)?f(x2)?0，则f(x)在闭区间[a,b]x1?x2上是增函数；若有(x1?x2)[f?x1??f?x2?]?0或此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义
f(x1)?f(x2)?0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
x1?x2若函数y?f?x?在区间D上是增函数或减函数，则称函数y?f?x?在这一区间上具有（严格的）单调性，
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区间D叫做函数f?x?的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B?A. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y?
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分别在(－∞，0)，(0，x
＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论
（1）若f?x?,g?x?均为区间A上的增(减)函数，则f?x??g?x?也是区间A上的增(减)函数； （2）若k?0，则kf?x?与f?x?的单调性相同；若k?0，则kf?x?与f?x?的单调性相反； （3）函数y?f?x?f?x??0在公共定义域内与y??f?x?，y?（4）函数y?f?x?f?x??0在公共定义域内与y????1的单调性相反； f(x)?f(x)的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性：①y?x?1的单调性：在???,?1?和?1,???上单调递增，在??1,0?和?0,1?x上单调递减；②y?ax???b??bb（a?0，b?0）的单调性：在???,?和上单调递增，在,???????a??ax???b??b?和上单调递减． ?,00,???a?????a????4．函数的最值
前提 设函数y?f?x?的定义域为I，如果存在实数M满足 （1）对于任意的x?I，都有条件 （3）对于任意的x?I，都有f?x??M； （2）存在x0?I，使得f?x0??M f?x??M； （4）存在x0?I，使得f?x0??M 2
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结论 M为最大值 M为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有图象关于y轴偶函数 f??x??f?x?，那么函数f?x?是偶函数 对称 如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有图象关于原点奇函数 f??x???f?x?，那么函数f?x?是奇函数 对称 判断f(?x)与f?x?的关系时，也可以使用如下结论：如果f(?x)?f?x??0或
f(?x)?1(f(x)?0)，则f(x)函数f?x?为偶函数；如果f(?x)?f?x??0或
f(?x)??1(f(x)?0)，则函数f?x?为奇函数． f(x)注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，?x也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：
f(x) 偶函数 偶函数 g(x) 偶函数 奇函数 f(x)?g(x) 偶函数 不能确定 f(x)?g(x) 偶函数 不能确定 f(x)g(x) 偶函数 奇函数 f(g(x)) 偶函数 偶函数 3
专题05函数的基本性质知识点
