考点： 圆周角定理；垂径定理；解直角三角形． 分析： （1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可； （2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可． 解答： （1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD， ∴∠D=∠BCD， ∴CB∥PD； （2）解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD⊥AB， ∴弧BD=弧BC， ∴∠BPD=∠CAB， ∴sin∠CAB=sin∠BPD=， 即=， ∵BC=3， ∴AB=5， 即⊙O的直径是5． 点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 23．（8分）（2014?绥化）在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： （1）A、C两村间的距离为 120 km，a= 2 ；
（2）求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）乙在行驶过程中，何时距甲10km？
考点： 一次函数的应用． 分析： （1）由图可知与y轴交点的坐标表示A、C两村间的距离为120km，再由0.5小时距离C村90kM，形式120﹣90=30km，速度为60km/h，求得a=2； （2）求得y1，y2两个函数解析式，建立方程求得点P坐标，表示在什么时间相遇以及距离C村的距离； （3）由（2）中的函数解析式根据距甲10km建立方程；探讨得出答案即可． 解答： 解：（1）A、C两村间的距离120km， a=120÷[（120﹣90）÷0.5]=2； （2）设y1=k1x+120， 代入（2，0）解得y1=﹣60x+120， y2=k2x+90， 代入（3，0）解得y1=﹣30x+90， 由﹣60x+120=﹣30x+90 解得x=1，则y1=y2=60， 所以P（1，60），表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km． （3）当y1﹣y2=10， 即﹣60x+120﹣（﹣30x+90）=10 解得x=， 当y2﹣y1=10， 即﹣30x+90﹣（﹣60x+120）=10 解得x=， 当甲走到C地，而乙距离C地10km时， ﹣30x+90=10 解得x=； 综上所知当x=h，或x=h，或x=h乙距甲10km． 点评： 此题考查一次函数的运用，一次函数与二元一次方程组的运用，解答时认真分析图象求出解析式是关键，注意分类思想的渗透． 24．（8分）（2014?绥化）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： A B 1200 1000 进价（元/件） 1380 1200 售价（元/件）
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？ 考点： 一元一次不等式组的应用． 专题： 应用题；压轴题． 分析： （1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解． （2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价． 解答： 解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件， 根据题意得 化简得，解之得． 答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件． （2）由于A商品购进400件，获利为 （1380﹣1200）×400=72000（元） 从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元） 设B商品每件售价为z元，则 120（z﹣1000）≥9600 解之得z≥1080 所以B种商品最低售价为每件1080元． 点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力． 25．（8分）（2014?绥化）如图，抛物线y=﹣x+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． （1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
2
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则易推知CD∥AB，所以∠BCD=∠ABC=45°．利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得BC=4，BE=BC﹣DE=．由正切三角函数定义知tan∠DBC==； （2）过点P作PF⊥x轴于点F．由点B、D的坐标得到BD⊥x轴，∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知2=，通过解方程求得点P
的坐标为（﹣，）． 2解答： 解：（1）令y=0，则﹣x+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0， 解得 x1=﹣1，x2=4． ∴A（﹣1，0），B（4，0）． 2当x=3时，y=﹣3+3×3+4=4， ∴D（3，4）． 如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E． ∵C（0，4）， ∴CD∥AB， ∴∠BCD=∠ABC=45°． 在直角△OBC中，∵OC=OB=4， ∴BC=4． 在直角△CDE中，CD=3． ∴CE=ED=， ． ∴BE=BC﹣DE=∴tan∠DBC==； （2）过点P作PF⊥x轴于点F． ∵∠CBF=∠DBP=45°， ∴∠PBF=∠DBC， ∴tan∠PBF=． 设P（x，﹣x+3x+4），则解得 x1=﹣，x2=4（舍去）， ∴P（﹣，）． 2=， 点评： 本题主要考查了二次函数综合型题目，其中涉及到了坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点．解题时，要注意数形结合的数学思想方法． 26．（9分）（2014?绥化）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC． （1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂线，在RT△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC． （2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△DPE≌△FPG，再证得△CDE≌△CBG，利用在RT△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC． （3）延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，作ME∥DC，先证△GFP≌△HDP，再证得△HDC≌△GBC，在在RT△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC． 解答： （1）提示：如图1：延长GP交DC于点E， 利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG， ∴CE=CG， ∴CP是EG的中垂线， 在RT△CPG中，∠PCG=60°， ∴PG=PC． （2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC， ∵∠ABC=60°，△BGF正三角形 ∴GF∥BC∥AD， ∴∠EDP=∠GFP， 在△DPE和△FPG中 ∴△DPE≌△FPG（ASA） ∴PE=PG，DE=FG=BG， ∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB， 在△CDE和△CBG中， ∴△CDE≌△CBG（SAS） ∴CE=CG，∠DCE=∠BCG， ∴∠ECG=∠DCB=120°，
2014年黑龙江省绥化市中考数学试卷（含答案和解析）
