指数函数
【考点精讲】
1. 指数函数的定义
一般地,函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数。 2. 指数函数的性质: xa?1 0?a?1 图 象 性质[来源学*科*网(1)定义域:R(2)值域:(0,??) [来源学。科。网Z。X。X。K][来源学§科§网] Z*X*X*K] (3)过点(0,1),即x?0时,y?1 (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数 [来源学科网ZXXK]
【典例精析】
ex+ex
例题1 函数y=x-x的图象大致为
e-e
-
( )
思路导航:e?ex?x?0?x?0,y?e?eex?e?xx?x1xe2x?1e2x?1?2e?2x?==2x1e?1e?1ex?xeex?
1?2。
e2x?1函数y在(0,+∞)上恒大于1且单调递减。又函数 y 是奇函数,故只有A正确。 答案:A
x?2例题2 (1)函数y=a+3(a>0,且a≠1)的图象过定点P,则点P的坐标是________。
(2)作出函数y?2的图象,指出它的单调区间及最值。
思路导航:(1)利用y=a(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)来确定。 当x+2=0,即x=-2时,y=a∴P(-2,4)。
即点P坐标为(-2,4)
?2?2xx?3=1+3=4,
?2x(x?0)?x(2)y?2可转化为y=2|x|??1。作图,利用图象写出单调区间及最值。
x?()(x?0)?2x??2,x?0,|x| y?2???x??2,x?0,其图象如下图所示
由图象知,增区间为[0,+?),减区间为(-?,0]。
最小值为1,没有最大值。 答案:(1)(-2,4);(2)增区间为[0,+∞),减区间为(-∞,0)。最小值为1,没有最大值。
例题3 设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值。 思路导航:利用换元法,令t=ax,利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性,构建方程获解。
答案:令t=ax(a>0且a≠1),
则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0)。
1a,?, ①当0<a<1时,x∈[-1,1],t=ax∈??a?1
a,?上为增函数。 此时f(t)在??a?1??1?2
所以f(t)max=f ??a?=?a+1?-2=14。
1?211+1=16,所以a=-或a=。 所以??a?53
1
又因为a>0,所以a=。
3
1?
②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈??a,a?,
1?
此时f(t)在??a,a?上是增函数。
所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,
1
解得a=3(a=-5舍去)。综上得a=或3。
3
1
即,a=或3。
3
点评:本题的考点是函数的最值问题,同时考查了用换元法将原函数转变为二次函数,及求出换元后变量取值范围的能力。本题是对底数进行分类后,根据指数函数的性质求出变量取值范围,再根据二次函数在区间上的单调性求有关最值问题。
【总结提升】
理解指数函数定义,需注意的几个问题:
(1)因为a>0,x是任意一个实数,故a是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R。
(2)规定底数a大于零且不等于1的理由:
11x如果a<0,比如y=(?4),这时对于x=,x=,…,在实数范围内函数值不存在。
42
如果a=1,y=1,x=1,是一个常量,对它就没有研究的必要了。 为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1。
x
指数函数
1. 关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法,正确的是( ) A. (1)和(2)都是指数函数 B. (1)和(2)都不是指数函数 C. (1)是指数函数,(2)不是 D. (2)是指数函数,(1)不是
-
2. 已知对不同的a值,函数f(x)=2+a x1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是( )
A. (0,3) B. (0,2) C. (1,3) D. (1,2) 3. 设y 1=4 0.9,y2=8 0.44,y3=(
1-1.5
),则( ) 2A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3 C. y1>y2>y3 D. y1>y3>y2
4. 当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( ) A. 1<|a|<2 B. |a|<1 C. |a|>1 D. |a|>2
-5. 函数f(x)=2|x|的值域是( ) A. (0,1] B. (0,1) C. (0,+∞) D. R -x?2?1?1,x?06. 函数f(x)=?,满足f(x)>1的x的取值范围是( ) 2?x?0?x,A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. {x|x>0或x<-2} D. {x|x>1或x<-1} --
7. 解不等式:(a2+2a+3)x2<(a2+2a+3)32x。
指数函数
1. D 解析:由指数函数特征知(1)不是,(2)是。 2. C 解析:函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部
分表达式”一定为常数,本题要想使a x1为常数,又∵a取不同的值,因此x-1=0,从而得解。
为使y为定值,应使x-1=0,则此时y=2+a0=3,故P点坐标为(1,3)。 因此,选C。
3. D 解析:把给出的三个函数化为同底的指数式,y1=21.8,y2=21.32,y3=21.5,再根据指数函数y=2 x是增函数即可判断y1>y3>y2。
4. D 解析:由指数函数的性质可知f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以a 2-1>1,a 2>2,|a|>2。
5. A 解析:先求-|x|的范围,再根据指数函数y=2x的单调性求解此函数的值域即可。 令t=-|x|,则t≤0 因为y=2x单调递增,所以0<2t≤20=1 即0<y≤1 故选A。 6. D 解析:分x≤0和x>0两种情况解不等式,解指数不等式时,要化为同底的指数不等式,再利用指数函数的单调性来解。 --当x≤0时,f(x)>1 即 2x-1>1,2x>2=21,∴-x>1,x<-1, 当x>0时,f(x)>1 即 x>1,x>1, 综上,x<-1或 x>1, 故选D。 7. {x|x<12-
5} 解析:根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于03小于1时单调递减,先对底数进行范围的判断,再结合指数函数的单调性即可得到答案。 ∵a2+2a+3=(a+1)2+2≥2>1, y=(a2+2a+3)x为增函数, ∴x-2<3-2x,x<5, 35}。 3故原不等式的解集是:{x|x<
人教版新课标高一数学必修一 第二章 基本初等函数 2..1 指数函数 教案及课后习题
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)