全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题.
一 试
一、填空（每小题7分，共56分）
x?f?f?f?x??1． 若函数f?x??且f(n)?x??f?，则f?99??1?? ． ?????????????1?x2n2． 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，
C为圆M上两点，在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．
?y≥0?3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由
?y≤2?x?不等式t≤x≤t?1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ．
4． 使不等式
1111?????a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数n?1n?22n?13a的值为 ． x2y25． 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的最
ab小值为 ．
6． 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是 ．
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）
∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随8． 某车站每天8机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 8∶10 8∶30 8∶50 到站时刻 9∶10 9∶30 9∶50 111 概率 623一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题
x2y21． （14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两
1612x2y2点A，B，与双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量
412????????AC?BD?0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
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2． （15分）已知p，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，数列?an?q?q?0?是实数，满足a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，4，??
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）；
1(Ⅱ)若p?1，q?，求?an?的前n项和．
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3． （15分）求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值．
加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
?、?AC的9． 如图，M，N分别为锐角三角形?ABC（?A??B）的外接圆?上弧BC中点．过点C作PC∥MN交圆?于P点，I为?ABC的内心，连接PI并延长交圆?于T．
⑴求证：MP?MT?NP?NT；
AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记?AQC，△QCB的内⑵在弧?心分别为I1，I2，
PNITAQCMB求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
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10． 求证不等式：
1?nk??1???2?lnn≤，n?1，2，… ?2?k?1k?1?
l11． 设k，l是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥k，使得Ck m与互素．
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2009年全国高中数学联赛试题及答案 - 图文
