x23y2??1； 即，椭圆方程为44uuuruuur（2）假设总存在实数λ，使得PQ?λAB，即AB//PQ，
0?(?1)1?， 由C(1,1)得B(?1,?1)，则kAB?2?(?1)3 若设CP：y?k(x?1)?1，则CQ：y??k(x?1)?1，
?x23y2?1?? 由?4?(1?3k2)x2?6k(k?1)x?3k2?6k?1?0， 4?y?k(x?1)?1?222 由C(1,1)得x?1是方程(1?3k)x?6k(k?1)x?3k?6k?1?0的一个根， 3k2?6k?13k2?6k?1 由韦达定理得：xP?xP?1?，以?k代k得xQ?，
1?3k21?3k2yP?yQk(xP?xQ)?2k1 故kPQ???，故AB//PQ，
xP?xQxP?xQ3uuuruuur 即总存在实数λ，使得PQ?λAB.
评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.
考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.
uuuuruuur例18．设G、M分别是?ABC的重心和外心，A(0,?a)，B(0,a)(a?0)，且GM??AB，
（1）求点C的轨迹方程；
uuuruuur （2）是否存在直线m，使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OP?OQ?0？若存
在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则G(,)，
uuuuruuurx 因为GM??AB，所以GM//AB，则M(,0)，
3x2x222 由M为?ABC的外心，则|MA|?|MC|，即()?a?(?x)?y，
33x2y2 整理得：2?2?1(x?0)；
3aa（2）假设直线m存在，设方程为y?k(x?a)，
?y?k(x?a)?22222 由?x2得：(1?3k)x?6kax?3a(k?1)?0， y2?2?2?1(x?0)a?3a6k2a3a2(k2?1) 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?，x1x2?，
1?3k21?3k2
xy33?2k2a2 y1y2?k(x1?a)(x2?a)?k[x1x2?a(x1?x2)?a]＝，
1?3k2uuuruuur 由OP?OQ?0得：x1x2?y1y2?0，
2223a2(k2?1)?2k2a2??0，解之得k??3， 即
1?3k21?3k2 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m过点(a,0)，
故存在直线m，其方程为y??3(x?a). 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；
（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.
专题训练
1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是y??1x，那么双曲线方程是
322222．已知椭圆x2?y2?1和双曲线x2?y2?1有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为
3m5n2m3n223．已知F1,F2为椭圆x2?y2?1(a?b?0)的焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，
ab 且?FMF，则椭圆的离心率为 12?60?4．二次曲线x?y?1，当m?[?2,?1]时，该曲线的离心率e的取值范围是
4m225．直线m的方程为y?kx?1，双曲线C的方程为x2?y2?1，若直线m与双曲线C的右支相交于不
重合的两点，则实数k的取值范围是
6．已知圆的方程为x2?y2?4，若抛物线过点A(?1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为
227．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆x?y?1(a?b?0)上一点，若PF1?PF2?0 tan?PF1F2?1，则
22ab2椭圆的离心率为 ______________ .
8．已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为413，点A的坐标是______________ .
39．P是椭圆x?y?1上的点，F1,F2是椭圆的左右焦点，设|PF1|?|PF2|?k，则k的最大值与最小值之
4322差是______________ . 10．给出下列命题：
①圆(x?2)2?(y?1)2?1关于点M(?1,2)对称的圆的方程是(x?3)2?(y?3)2?1；
22xy②双曲线??1右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为29； 1692③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(?4,?3)的抛物线方程只能是y2??9x；
4④P、Q是椭圆x2?4y2?16上的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为?1，则|OP|2?|OQ|24等于定值20 .
把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .
uuuuruuuruuur11．已知两点A(2,0)，B(?2,0)，动点P在y轴上的射影为Q，PA?PB?2PQ2， （1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设直线m过点A，斜率为k，当0?k?1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为2，试求k的值及此时点C的坐标.
12．如图，F1(?3,0)，F2(3,0)是双曲线C的两焦点，直线x?4是双曲线C的右准线，A1,A2 是双曲
3线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P、A2P交双曲线C的右准线
分别于M,N两点，
（1）求双曲线C的方程；
uuuuruuuur（2）求证：FM是定值. ?FN12 uuuruuur13．已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，建立如图（1）若S?1，|OF|?2，求直线FQ的方程；
24uuur|OQ|取得最小值时的椭圆方程.
uuuryPMF1A1oNF2A2yx所示坐标系，
Quuur（2）设|OF|?c(c?2)，S?3c，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，oFx求当
uuuruuur14．已知点H(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP?PM?0，uuurr3uuuuPM??MQ，
2（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T(?1,0)作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点y?ABE为等边三角形，求x0的值. P
o
22xy15．已知椭圆??1(a?b?0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭a2b2圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共E(x0,0)，使得HTAQEMBx线向
量．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；
16．已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P坐标为(x0,y0)，?为PM与PN的夹角，求tanθ．
【参考答案】
1．提示，设双曲线方程为(1x?y)(1x?y)??，将点(6,3)代入求出?即可.
332．因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为(3m2?5n2,0)，双曲线焦点为(2m2?3n2,0)，由
3m2?5n2?2m2?3n2得|m|?22|n|，所以，双曲线的渐近线为y??6|n|??3x .
2|m|4|FFc2c3d3 . 12|3．设|MF1|?d，则|MF2|?2d，|FF????12|?3d，e?a2a|MF1|?|MF2|d?2d3
4.曲线为双曲线，且5?1，故选C；或用a2?4，b2??m来计算.
25．将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
7．解：设c为为椭圆半焦距，∵PF1?PF2?0 ，∴PF1?PF2 .
?22?2PF?PF?(2c)12?又tan?PF1F2?1 ∴?
?PF1?PF2?2a2??PF2?1?PF12?
解得：()?ca25c5e??,a3 ． 98． 解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线l的方程为y=x-x0，设直线l与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、
y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0， x2+2y2=12
24x0，2x0?12，则
x1?x2?x1?x2?3316x08x?4822|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2??0?36?2x0．
933222∴414?1?x2?|x1?x2|，即414?2?2?36?2x02． 333 ∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）．
2229．1；k?|PF1|?|PF2|?(a?ex)(a?ex)?a?ex . 10．②④.
uuuruuur11．解（1）设动点P的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ?(?x,0)，PA?(2?x,?y)，
uuuruuuruuurPB?(?2?x,?y)，PA?PB?x2?2?y2，
uuuuruuuruuur222因为PA?PB?2PQ2，所以x?2?y?2x，
即动点P的轨迹方程为：y?x?2； （2）设直线m：y?k(x?2)(0?k?1)，
22依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为2的直线上，
2设此直线为m1:y?kx?b，由|2k?b|?2，即b?22kb?2，……①
k2?122222把y?kx?b代入y?x?2，整理得：(k?1)x?2kbx?(b?2)?0， 则??4kb?4(k?1)(b?2)?0，即b2?2k2?2，…………② 由①②得：k?25，b?10，
55此时，由方程组?y??2510x? . 55?C(22,10)??y2?x2?2?2222a24?，所以a?2，b2?5， 12．解：（1）依题意得：c?3，
c3
x2y2??1； 所求双曲线C的方程为45（2）设P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则A1(?2,0)，A2(2,0)，
uuuuruuuuruuuuruuuur2A1P?(x0?2,y0)，A2P?(x0?2,y0)，A1M?(10,y1)，A2N?(?,y2)，
3uuuuruuuur10y02y010因为A1P与A1M共线，故(x0?2)y1?，同理：y2??， y0，y1?3(x0?2)3(x0?2)3uuuuruuuur135则FM，FN?(?,y2)， ?(,y)2113325(x0?4)uuuuruuuur220?6504所以FM＝?65??F2N＝??y1y2＝?65?20y??10 . 122999(x0?4)99(x0?4)uuuruuuruuur13．解：（1）因为|OF|?2，则F(2,0)，OF?(2,0)，设Q(x0,y0)，则FQ?(x0?2,y0)，
uuuruuur5OF?FQ?2(x0?2)?1，解得x0?，
2r1uuu1151由S?|OF|?|y0|?|y0|?，得y0??，故Q(,?)，
22222所以，PQ所在直线方程为y?x?2或y??x?2；
uuuruuur（2）设Q(x0,y0)，因为|OF|?c(c?2)，则FQ?(x0?c,y0)， uuuruuur1由OF?FQ?c(x0?c)?1得：x0?c?，
c133又S?c|y0|?c，则y0??，
224uuur21319Q(c?,?)，|OQ|?(c?)2?，
c4c2uuur53易知，当c?2时，|OQ|最小，此时Q(,?)，
22?a2?b2?4222?xy?a?10?设椭圆方程为2?2?1,(a?b?0)，则?25，解得?， 92ab??b?6?2?2?14b?4ax2y2??1 . 所以，椭圆方程为
10615解：（1）∵F1(?c,0),则xM??c,yM?b，∴kOM??b .
aac223
∵kAB??b,OM与AB是共线向量，∴?b??b，∴b=c,故e?2 .
a?r1,F2Q?r2,?F1QF2??, 1（2）设FQ?r1?r2?2a,F1F2?2c,cos??2aca2r12?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c2a2a2
???1??1?0r?r2r1r22r1r2r1r2(12)22
高考数学专题：解析几何新题型的解题技巧
